Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3714 / 1666
↖ ↑ ↗
← N 31.802893°
E146.425781°		 ← 8 305.73 m → N 31.802893°
E146.513672°		 →
↑
8 309.12 m
↓
↑
8 309.12 m
↓
N 31.728167°
E146.425781°		 ← 8 312.44 m →
69 041 209 m²		 N 31.728167°
E146.513672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9068603515625 y=0.4068603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9068603515625 × 212)
    floor (0.9068603515625 × 4096)
    floor (3714.5)     		tx = 3714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4068603515625 × 212)
    floor (0.4068603515625 × 4096)
    floor (1666.5)     		ty = 1666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3714 / 1666 ti = "12/3714/1666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3714/1666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3714 ÷ 212
    3714 ÷ 4096     		x = 0.90673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1666 ÷ 212
    1666 ÷ 4096     		y = 0.40673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90673828125 × 2 - 1) × π
    0.8134765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55561199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40673828125 × 2 - 1) × π
    0.1865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.585980660955566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55561199} λ = 2.55561199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.585980660955566))-π/2
    2×atan(1.79675212661507)-π/2
    2×1.0629307570384-π/2
    2.12586151407679-1.57079632675     		φ = 0.55506519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55561199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55506519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.802893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3714 KachelY 1666 2.55561199 0.55506519 146.425781 31.802893
    Oben rechts KachelX + 1 3715 KachelY 1666 2.55714597 0.55506519 146.513672 31.802893
    Unten links KachelX 3714 KachelY + 1 1667 2.55561199 0.55376098 146.425781 31.728167
    Unten rechts KachelX + 1 3715 KachelY + 1 1667 2.55714597 0.55376098 146.513672 31.728167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55506519-0.55376098) × R
    0.00130421000000003 × 6371000     		dl = 8309.12191000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55506519-0.55376098) × R
    0.00130421000000003 × 6371000     		dr = 8309.12191000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55561199-2.55714597) × cos(0.55506519) × R
    0.00153398000000005 × 0.849866087030189 × 6371000     		do = 8305.7298633434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55561199-2.55714597) × cos(0.55376098) × R
    0.00153398000000005 × 0.850552681019615 × 6371000     		du = 8312.43993718797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55506519)-sin(0.55376098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849866087030189-0.850552681019615)×R²
    abs(2.55714597-2.55561199)×0.00068659398942561×R²
    0.00153398000000005×0.00068659398942561×6371000²
    0.00153398000000005×0.00068659398942561×40589641000000     		ar = 69041209.1832322m²