Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 372 / 628
↖ ↑ ↗
← S 37.718590°
W 49.218750°		 ← 30.923 km → S 37.718590°
W 48.867188°		 →
↑
30.865 km
↓
↑
30.865 km
↓
S 37.996163°
W 49.218750°		 ← 30.806 km →
952.626 km²		 S 37.996163°
W 48.867188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36376953125 y=0.61376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36376953125 × 210)
    floor (0.36376953125 × 1024)
    floor (372.5)     		tx = 372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.61376953125 × 210)
    floor (0.61376953125 × 1024)
    floor (628.5)     		ty = 628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 372 / 628 ti = "10/372/628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/372/628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 372 ÷ 210
    372 ÷ 1024     		x = 0.36328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 628 ÷ 210
    628 ÷ 1024     		y = 0.61328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36328125 × 2 - 1) × π
    -0.2734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85902924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61328125 × 2 - 1) × π
    -0.2265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.711767085558594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85902924} λ = -0.85902924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.711767085558594))-π/2
    2×atan(0.49077618724969)-π/2
    2×0.456241368209298-π/2
    0.912482736418596-1.57079632675     		φ = -0.65831359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85902924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65831359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.718590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 372 KachelY 628 -0.85902924 -0.65831359 -49.218750 -37.718590
    Oben rechts KachelX + 1 373 KachelY 628 -0.85289332 -0.65831359 -48.867188 -37.718590
    Unten links KachelX 372 KachelY + 1 629 -0.85902924 -0.66315814 -49.218750 -37.996163
    Unten rechts KachelX + 1 373 KachelY + 1 629 -0.85289332 -0.66315814 -48.867188 -37.996163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65831359--0.66315814) × R
    0.00484454999999995 × 6371000     		dl = 30864.6280499997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65831359--0.66315814) × R
    0.00484454999999995 × 6371000     		dr = 30864.6280499997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85902924--0.85289332) × cos(-0.65831359) × R
    0.00613592000000007 × 0.791025074037336 × 6371000     		do = 30922.7097320419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85902924--0.85289332) × cos(-0.66315814) × R
    0.00613592000000007 × 0.788051986233167 × 6371000     		du = 30806.4859431967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65831359)-sin(-0.66315814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.791025074037336-0.788051986233167)×R²
    abs(-0.85289332--0.85902924)×0.00297308780416972×R²
    0.00613592000000007×0.00297308780416972×6371000²
    0.00613592000000007×0.00297308780416972×40589641000000     		ar = 952626195.323113m²