Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37376 / 37376
↖ ↑ ↗
← S 24.527135°
E 25.312500°		 ← 555.67 m → S 24.527135°
E 25.317993°		 →
↑
555.68 m
↓
↑
555.68 m
↓
S 24.532132°
E 25.312500°		 ← 555.65 m →
308 770 m²		 S 24.532132°
E 25.317993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570320129394531 y=0.570320129394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570320129394531 × 216)
    floor (0.570320129394531 × 65536)
    floor (37376.5)     		tx = 37376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.570320129394531 × 216)
    floor (0.570320129394531 × 65536)
    floor (37376.5)     		ty = 37376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37376 / 37376 ti = "16/37376/37376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37376/37376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37376 ÷ 216
    37376 ÷ 65536     		x = 0.5703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37376 ÷ 216
    37376 ÷ 65536     		y = 0.5703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5703125 × 2 - 1) × π
    0.140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44178647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5703125 × 2 - 1) × π
    -0.140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.441786466898437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44178647} λ = 0.44178647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.441786466898437))-π/2
    2×atan(0.642886898433291)-π/2
    2×0.571358534035749-π/2
    1.1427170680715-1.57079632675     		φ = -0.42807926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44178647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42807926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.527135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37376 KachelY 37376 0.44178647 -0.42807926 25.312500 -24.527135
    Oben rechts KachelX + 1 37377 KachelY 37376 0.44188234 -0.42807926 25.317993 -24.527135
    Unten links KachelX 37376 KachelY + 1 37377 0.44178647 -0.42816648 25.312500 -24.532132
    Unten rechts KachelX + 1 37377 KachelY + 1 37377 0.44188234 -0.42816648 25.317993 -24.532132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42807926--0.42816648) × R
    8.7219999999999e-05 × 6371000     		dl = 555.678619999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42807926--0.42816648) × R
    8.7219999999999e-05 × 6371000     		dr = 555.678619999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44178647-0.44188234) × cos(-0.42807926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.909764772910752 × 6371000     		do = 555.673196870702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44178647-0.44188234) × cos(-0.42816648) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.909728562322199 × 6371000     		du = 555.65107988607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42807926)-sin(-0.42816648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909764772910752-0.909728562322199)×R²
    abs(0.44188234-0.44178647)×3.62105885527431e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.62105885527431e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.62105885527431e-05×40589641000000     		ar = 308769.570436054m²