Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37376 / 4608
↖ ↑ ↗
← N 82.308893°
E 25.312500°		 ← 81.74 m → N 82.308893°
E 25.317993°		 →
↑
81.74 m
↓
↑
81.74 m
↓
N 82.308158°
E 25.312500°		 ← 81.75 m →
6 682 m²		 N 82.308158°
E 25.317993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570320129394531 y=0.0703201293945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570320129394531 × 216)
    floor (0.570320129394531 × 65536)
    floor (37376.5)     		tx = 37376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0703201293945312 × 216)
    floor (0.0703201293945312 × 65536)
    floor (4608.5)     		ty = 4608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37376 / 4608 ti = "16/37376/4608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37376/4608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37376 ÷ 216
    37376 ÷ 65536     		x = 0.5703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4608 ÷ 216
    4608 ÷ 65536     		y = 0.0703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5703125 × 2 - 1) × π
    0.140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44178647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0703125 × 2 - 1) × π
    0.859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.69980618660156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44178647} λ = 0.44178647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69980618660156))-π/2
    2×atan(14.8768481129497)-π/2
    2×1.50367875244878-π/2
    3.00735750489756-1.57079632675     		φ = 1.43656118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44178647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43656118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.308893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37376 KachelY 4608 0.44178647 1.43656118 25.312500 82.308893
    Oben rechts KachelX + 1 37377 KachelY 4608 0.44188234 1.43656118 25.317993 82.308893
    Unten links KachelX 37376 KachelY + 1 4609 0.44178647 1.43654835 25.312500 82.308158
    Unten rechts KachelX + 1 37377 KachelY + 1 4609 0.44188234 1.43654835 25.317993 82.308158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43656118-1.43654835) × R
    1.28299999999637e-05 × 6371000     		dl = 81.7399299997688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43656118-1.43654835) × R
    1.28299999999637e-05 × 6371000     		dr = 81.7399299997688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44178647-0.44188234) × cos(1.43656118) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133832377654437 × 6371000     		do = 81.7431795013498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44178647-0.44188234) × cos(1.43654835) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133845092224526 × 6371000     		du = 81.7509454052609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43656118)-sin(1.43654835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133832377654437-0.133845092224526)×R²
    abs(0.44188234-0.44178647)×1.27145700888898e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.27145700888898e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.27145700888898e-05×40589641000000     		ar = 6681.99916276042m²