Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37377 / 37375
↖ ↑ ↗
← S 24.522137°
E 25.317993°		 ← 555.70 m → S 24.522137°
E 25.323486°		 →
↑
555.74 m
↓
↑
555.74 m
↓
S 24.527135°
E 25.317993°		 ← 555.67 m →
308 817 m²		 S 24.527135°
E 25.323486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570335388183594 y=0.570304870605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570335388183594 × 216)
    floor (0.570335388183594 × 65536)
    floor (37377.5)     		tx = 37377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.570304870605469 × 216)
    floor (0.570304870605469 × 65536)
    floor (37375.5)     		ty = 37375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37377 / 37375 ti = "16/37377/37375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37377/37375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37377 ÷ 216
    37377 ÷ 65536     		x = 0.570327758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37375 ÷ 216
    37375 ÷ 65536     		y = 0.570297241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570327758789062 × 2 - 1) × π
    0.140655517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44188234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.570297241210938 × 2 - 1) × π
    -0.140594482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.441690593099197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44188234} λ = 0.44188234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.441690593099197))-π/2
    2×atan(0.642948537397459)-π/2
    2×0.571402146206182-π/2
    1.14280429241236-1.57079632675     		φ = -0.42799203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44188234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.317993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42799203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.522137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37377 KachelY 37375 0.44188234 -0.42799203 25.317993 -24.522137
    Oben rechts KachelX + 1 37378 KachelY 37375 0.44197821 -0.42799203 25.323486 -24.522137
    Unten links KachelX 37377 KachelY + 1 37376 0.44188234 -0.42807926 25.317993 -24.527135
    Unten rechts KachelX + 1 37378 KachelY + 1 37376 0.44197821 -0.42807926 25.323486 -24.527135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42799203--0.42807926) × R
    8.72299999999937e-05 × 6371000     		dl = 555.74232999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42799203--0.42807926) × R
    8.72299999999937e-05 × 6371000     		dr = 555.74232999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44188234-0.44197821) × cos(-0.42799203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.909800980728873 × 6371000     		do = 555.695312163189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44188234-0.44197821) × cos(-0.42807926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.909764772910752 × 6371000     		du = 555.673196870702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42799203)-sin(-0.42807926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909800980728873-0.909764772910752)×R²
    abs(0.44197821-0.44188234)×3.62078181211922e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.62078181211922e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.62078181211922e-05×40589641000000     		ar = 308817.262545315m²