Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37378 / 37378
↖ ↑ ↗
← S 24.537130°
E 25.323486°		 ← 555.69 m → S 24.537130°
E 25.328980°		 →
↑
555.61 m
↓
↑
555.61 m
↓
S 24.542126°
E 25.323486°		 ← 555.66 m →
308 742 m²		 S 24.542126°
E 25.328980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570350646972656 y=0.570350646972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570350646972656 × 216)
    floor (0.570350646972656 × 65536)
    floor (37378.5)     		tx = 37378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.570350646972656 × 216)
    floor (0.570350646972656 × 65536)
    floor (37378.5)     		ty = 37378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37378 / 37378 ti = "16/37378/37378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37378/37378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37378 ÷ 216
    37378 ÷ 65536     		x = 0.570343017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37378 ÷ 216
    37378 ÷ 65536     		y = 0.570343017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570343017578125 × 2 - 1) × π
    0.14068603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44197821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.570343017578125 × 2 - 1) × π
    -0.14068603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.441978214496918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44197821} λ = 0.44197821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.441978214496918))-π/2
    2×atan(0.642763638232224)-π/2
    2×0.571271314902273-π/2
    1.14254262980455-1.57079632675     		φ = -0.42825370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44197821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.323486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42825370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.537130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37378 KachelY 37378 0.44197821 -0.42825370 25.323486 -24.537130
    Oben rechts KachelX + 1 37379 KachelY 37378 0.44207409 -0.42825370 25.328980 -24.537130
    Unten links KachelX 37378 KachelY + 1 37379 0.44197821 -0.42834091 25.323486 -24.542126
    Unten rechts KachelX + 1 37379 KachelY + 1 37379 0.44207409 -0.42834091 25.328980 -24.542126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42825370--0.42834091) × R
    8.72100000000042e-05 × 6371000     		dl = 555.614910000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42825370--0.42834091) × R
    8.72100000000042e-05 × 6371000     		dr = 555.614910000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44197821-0.44207409) × cos(-0.42825370) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.909692344813042 × 6371000     		do = 555.686915173675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44197821-0.44207409) × cos(-0.42834091) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.909656124537179 × 6371000     		du = 555.664789964557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42825370)-sin(-0.42834091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909692344813042-0.909656124537179)×R²
    abs(0.44207409-0.44197821)×3.62202758632524e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.62202758632524e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.62202758632524e-05×40589641000000     		ar = 308741.789010181m²