Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3744 / 1696
↖ ↑ ↗
← N 29.535229°
E149.062500°		 ← 8 503.01 m → N 29.535229°
E149.150391°		 →
↑
8 506.24 m
↓
↑
8 506.24 m
↓
N 29.458731°
E149.062500°		 ← 8 509.44 m →
72 356 018 m²		 N 29.458731°
E149.150391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9141845703125 y=0.4141845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9141845703125 × 212)
    floor (0.9141845703125 × 4096)
    floor (3744.5)     		tx = 3744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4141845703125 × 212)
    floor (0.4141845703125 × 4096)
    floor (1696.5)     		ty = 1696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3744 / 1696 ti = "12/3744/1696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3744/1696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3744 ÷ 212
    3744 ÷ 4096     		x = 0.9140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1696 ÷ 212
    1696 ÷ 4096     		y = 0.4140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9140625 × 2 - 1) × π
    0.828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60163142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4140625 × 2 - 1) × π
    0.171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.539961237320313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60163142} λ = 2.60163142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.539961237320313))-π/2
    2×atan(1.71594034644969)-π/2
    2×1.04314166399364-π/2
    2.08628332798729-1.57079632675     		φ = 0.51548700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60163142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51548700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.535229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3744 KachelY 1696 2.60163142 0.51548700 149.062500 29.535229
    Oben rechts KachelX + 1 3745 KachelY 1696 2.60316540 0.51548700 149.150391 29.535229
    Unten links KachelX 3744 KachelY + 1 1697 2.60163142 0.51415185 149.062500 29.458731
    Unten rechts KachelX + 1 3745 KachelY + 1 1697 2.60316540 0.51415185 149.150391 29.458731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51548700-0.51415185) × R
    0.00133515000000006 × 6371000     		dl = 8506.2406500004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51548700-0.51415185) × R
    0.00133515000000006 × 6371000     		dr = 8506.2406500004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60163142-2.60316540) × cos(0.51548700) × R
    0.00153398000000005 × 0.870052754632841 × 6371000     		do = 8503.01389491904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60163142-2.60316540) × cos(0.51415185) × R
    0.00153398000000005 × 0.87071015265401 × 6371000     		du = 8509.43863695764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51548700)-sin(0.51415185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870052754632841-0.87071015265401)×R²
    abs(2.60316540-2.60163142)×0.00065739802116882×R²
    0.00153398000000005×0.00065739802116882×6371000²
    0.00153398000000005×0.00065739802116882×40589641000000     		ar = 72356018.3900669m²