Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 376 / 120
↖ ↑ ↗
← N 68.656555°
E 84.375000°		 ← 28.456 km → N 68.656555°
E 85.078125°		 →
↑
28.619 km
↓
↑
28.619 km
↓
N 68.399180°
E 84.375000°		 ← 28.782 km →
819.043 km²		 N 68.399180°
E 85.078125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7353515625 y=0.2353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7353515625 × 29)
    floor (0.7353515625 × 512)
    floor (376.5)     		tx = 376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2353515625 × 29)
    floor (0.2353515625 × 512)
    floor (120.5)     		ty = 120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 376 / 120 ti = "9/376/120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/376/120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 376 ÷ 29
    376 ÷ 512     		x = 0.734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120 ÷ 29
    120 ÷ 512     		y = 0.234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.734375 × 2 - 1) × π
    0.46875 × 3.1415926535     		Λ = 1.47262156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234375 × 2 - 1) × π
    0.53125 × 3.1415926535     		Φ = 1.66897109717187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47262156} λ = 1.47262156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66897109717187))-π/2
    2×atan(5.30670490358644)-π/2
    2×1.38453963216904-π/2
    2.76907926433808-1.57079632675     		φ = 1.19828294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47262156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19828294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.656555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 376 KachelY 120 1.47262156 1.19828294 84.375000 68.656555
    Oben rechts KachelX + 1 377 KachelY 120 1.48489340 1.19828294 85.078125 68.656555
    Unten links KachelX 376 KachelY + 1 121 1.47262156 1.19379090 84.375000 68.399180
    Unten rechts KachelX + 1 377 KachelY + 1 121 1.48489340 1.19379090 85.078125 68.399180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19828294-1.19379090) × R
    0.00449203999999992 × 6371000     		dl = 28618.7868399995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19828294-1.19379090) × R
    0.00449203999999992 × 6371000     		dr = 28618.7868399995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47262156-1.48489340) × cos(1.19828294) × R
    0.0122718399999999 × 0.363957586554578 × 6371000     		do = 28455.6208726964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47262156-1.48489340) × cos(1.19379090) × R
    0.0122718399999999 × 0.368137856227506 × 6371000     		du = 28782.4506280109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19828294)-sin(1.19379090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363957586554578-0.368137856227506)×R²
    abs(1.48489340-1.47262156)×0.00418026967292845×R²
    0.0122718399999999×0.00418026967292845×6371000²
    0.0122718399999999×0.00418026967292845×40589641000000     		ar = 819043460.956601m²