Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 376 / 664
↖ ↑ ↗
← S 47.040182°
W 47.812500°		 ← 26.641 km → S 47.040182°
W 47.460938°		 →
↑
26.581 km
↓
↑
26.581 km
↓
S 47.279229°
W 47.812500°		 ← 26.521 km →
706.539 km²		 S 47.279229°
W 47.460938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36767578125 y=0.64892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36767578125 × 210)
    floor (0.36767578125 × 1024)
    floor (376.5)     		tx = 376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64892578125 × 210)
    floor (0.64892578125 × 1024)
    floor (664.5)     		ty = 664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 376 / 664 ti = "10/376/664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/376/664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 376 ÷ 210
    376 ÷ 1024     		x = 0.3671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 664 ÷ 210
    664 ÷ 1024     		y = 0.6484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3671875 × 2 - 1) × π
    -0.265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83448555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6484375 × 2 - 1) × π
    -0.296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.932660319007813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83448555} λ = -0.83448555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.932660319007813))-π/2
    2×atan(0.393505466585958)-π/2
    2×0.37489513382417-π/2
    0.749790267648339-1.57079632675     		φ = -0.82100606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83448555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82100606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.040182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 376 KachelY 664 -0.83448555 -0.82100606 -47.812500 -47.040182
    Oben rechts KachelX + 1 377 KachelY 664 -0.82834963 -0.82100606 -47.460938 -47.040182
    Unten links KachelX 376 KachelY + 1 665 -0.83448555 -0.82517821 -47.812500 -47.279229
    Unten rechts KachelX + 1 377 KachelY + 1 665 -0.82834963 -0.82517821 -47.460938 -47.279229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82100606--0.82517821) × R
    0.00417215000000004 × 6371000     		dl = 26580.7676500003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82100606--0.82517821) × R
    0.00417215000000004 × 6371000     		dr = 26580.7676500003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83448555--0.82834963) × cos(-0.82100606) × R
    0.00613592000000007 × 0.681485285580883 × 6371000     		do = 26640.5862017981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83448555--0.82834963) × cos(-0.82517821) × R
    0.00613592000000007 × 0.67842605108918 × 6371000     		du = 26520.9947712681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82100606)-sin(-0.82517821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681485285580883-0.67842605108918)×R²
    abs(-0.82834963--0.83448555)×0.00305923449170342×R²
    0.00613592000000007×0.00305923449170342×6371000²
    0.00613592000000007×0.00305923449170342×40589641000000     		ar = 706538840.759952m²