Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3776 / 1728
↖ ↑ ↗
← N 27.059126°
E151.875000°		 ← 8 703.21 m → N 27.059126°
E151.962891°		 →
↑
8 706.29 m
↓
↑
8 706.29 m
↓
N 26.980828°
E151.875000°		 ← 8 709.28 m →
75 799 108 m²		 N 26.980828°
E151.962891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9219970703125 y=0.4219970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9219970703125 × 212)
    floor (0.9219970703125 × 4096)
    floor (3776.5)     		tx = 3776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4219970703125 × 212)
    floor (0.4219970703125 × 4096)
    floor (1728.5)     		ty = 1728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3776 / 1728 ti = "12/3776/1728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3776/1728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3776 ÷ 212
    3776 ÷ 4096     		x = 0.921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1728 ÷ 212
    1728 ÷ 4096     		y = 0.421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.921875 × 2 - 1) × π
    0.84375 × 3.1415926535     		Λ = 2.65071880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421875 × 2 - 1) × π
    0.15625 × 3.1415926535     		Φ = 0.490873852109375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65071880} λ = 2.65071880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.490873852109375))-π/2
    2×atan(1.63374324634155)-π/2
    2×1.02153358221551-π/2
    2.04306716443102-1.57079632675     		φ = 0.47227084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65071880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47227084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.059126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3776 KachelY 1728 2.65071880 0.47227084 151.875000 27.059126
    Oben rechts KachelX + 1 3777 KachelY 1728 2.65225278 0.47227084 151.962891 27.059126
    Unten links KachelX 3776 KachelY + 1 1729 2.65071880 0.47090429 151.875000 26.980828
    Unten rechts KachelX + 1 3777 KachelY + 1 1729 2.65225278 0.47090429 151.962891 26.980828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47227084-0.47090429) × R
    0.00136655000000002 × 6371000     		dl = 8706.29005000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47227084-0.47090429) × R
    0.00136655000000002 × 6371000     		dr = 8706.29005000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65071880-2.65225278) × cos(0.47227084) × R
    0.00153398000000005 × 0.890537558006442 × 6371000     		do = 8703.21160338319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65071880-2.65225278) × cos(0.47090429) × R
    0.00153398000000005 × 0.891158383176458 × 6371000     		du = 8709.27891943829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47227084)-sin(0.47090429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890537558006442-0.891158383176458)×R²
    abs(2.65225278-2.65071880)×0.000620825170016603×R²
    0.00153398000000005×0.000620825170016603×6371000²
    0.00153398000000005×0.000620825170016603×40589641000000     		ar = 75799108.288256m²