Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 379 / 635
↖ ↑ ↗
← S 39.639537°
W 46.757813°		 ← 30.104 km → S 39.639537°
W 46.406250°		 →
↑
30.045 km
↓
↑
30.045 km
↓
S 39.909736°
W 46.757813°		 ← 29.986 km →
902.687 km²		 S 39.909736°
W 46.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37060546875 y=0.62060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37060546875 × 210)
    floor (0.37060546875 × 1024)
    floor (379.5)     		tx = 379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62060546875 × 210)
    floor (0.62060546875 × 1024)
    floor (635.5)     		ty = 635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 379 / 635 ti = "10/379/635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/379/635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 379 ÷ 210
    379 ÷ 1024     		x = 0.3701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 635 ÷ 210
    635 ÷ 1024     		y = 0.6201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3701171875 × 2 - 1) × π
    -0.259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.81607778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6201171875 × 2 - 1) × π
    -0.240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.754718547618164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81607778} λ = -0.81607778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.754718547618164))-π/2
    2×atan(0.470142918955338)-π/2
    2×0.439477941172668-π/2
    0.878955882345336-1.57079632675     		φ = -0.69184044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81607778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69184044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.639537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 379 KachelY 635 -0.81607778 -0.69184044 -46.757813 -39.639537
    Oben rechts KachelX + 1 380 KachelY 635 -0.80994186 -0.69184044 -46.406250 -39.639537
    Unten links KachelX 379 KachelY + 1 636 -0.81607778 -0.69655630 -46.757813 -39.909736
    Unten rechts KachelX + 1 380 KachelY + 1 636 -0.80994186 -0.69655630 -46.406250 -39.909736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69184044--0.69655630) × R
    0.00471586000000002 × 6371000     		dl = 30044.7440600001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69184044--0.69655630) × R
    0.00471586000000002 × 6371000     		dr = 30044.7440600001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81607778--0.80994186) × cos(-0.69184044) × R
    0.00613591999999996 × 0.770073200977456 × 6371000     		do = 30103.6602350811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81607778--0.80994186) × cos(-0.69655630) × R
    0.00613591999999996 × 0.767056140195237 × 6371000     		du = 29985.7174569384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69184044)-sin(-0.69655630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770073200977456-0.767056140195237)×R²
    abs(-0.80994186--0.81607778)×0.00301706078221953×R²
    0.00613591999999996×0.00301706078221953×6371000²
    0.00613591999999996×0.00301706078221953×40589641000000     		ar = 902686659.670626m²