Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 380 / 124
↖ ↑ ↗
← N 67.609220°
E 87.187500°		 ← 29.782 km → N 67.609220°
E 87.890625°		 →
↑
29.951 km
↓
↑
29.951 km
↓
N 67.339861°
E 87.187500°		 ← 30.121 km →
897.098 km²		 N 67.339861°
E 87.890625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7431640625 y=0.2431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7431640625 × 29)
    floor (0.7431640625 × 512)
    floor (380.5)     		tx = 380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2431640625 × 29)
    floor (0.2431640625 × 512)
    floor (124.5)     		ty = 124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 380 / 124 ti = "9/380/124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/380/124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 380 ÷ 29
    380 ÷ 512     		x = 0.7421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 124 ÷ 29
    124 ÷ 512     		y = 0.2421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7421875 × 2 - 1) × π
    0.484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.52170894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2421875 × 2 - 1) × π
    0.515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.61988371196094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52170894} λ = 1.52170894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61988371196094))-π/2
    2×atan(5.05250273676466)-π/2
    2×1.37539991552054-π/2
    2.75079983104107-1.57079632675     		φ = 1.18000350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52170894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18000350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.609220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 380 KachelY 124 1.52170894 1.18000350 87.187500 67.609220
    Oben rechts KachelX + 1 381 KachelY 124 1.53398079 1.18000350 87.890625 67.609220
    Unten links KachelX 380 KachelY + 1 125 1.52170894 1.17530229 87.187500 67.339861
    Unten rechts KachelX + 1 381 KachelY + 1 125 1.53398079 1.17530229 87.890625 67.339861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18000350-1.17530229) × R
    0.0047012099999999 × 6371000     		dl = 29951.4089099994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18000350-1.17530229) × R
    0.0047012099999999 × 6371000     		dr = 29951.4089099994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52170894-1.53398079) × cos(1.18000350) × R
    0.0122718500000001 × 0.380921588243505 × 6371000     		do = 29781.9568280031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52170894-1.53398079) × cos(1.17530229) × R
    0.0122718500000001 × 0.385264136093535 × 6371000     		du = 30121.4743995576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18000350)-sin(1.17530229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380921588243505-0.385264136093535)×R²
    abs(1.53398079-1.52170894)×0.00434254785002963×R²
    0.0122718500000001×0.00434254785002963×6371000²
    0.0122718500000001×0.00434254785002963×40589641000000     		ar = 897097734.162748m²