Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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9 / 380 / 388
↖ ↑ ↗
← S 67.609220°
E 87.187500°		 ← 29.782 km → S 67.609220°
E 87.890625°		 →
↑
29.614 km
↓
↑
29.614 km
↓
S 67.875541°
E 87.187500°		 ← 29.446 km →
876.971 km²		 S 67.875541°
E 87.890625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7431640625 y=0.7587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7431640625 × 29)
    floor (0.7431640625 × 512)
    floor (380.5)     		tx = 380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7587890625 × 29)
    floor (0.7587890625 × 512)
    floor (388.5)     		ty = 388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 380 / 388 ti = "9/380/388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/380/388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 380 ÷ 29
    380 ÷ 512     		x = 0.7421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 388 ÷ 29
    388 ÷ 512     		y = 0.7578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7421875 × 2 - 1) × π
    0.484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.52170894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7578125 × 2 - 1) × π
    -0.515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61988371196094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52170894} λ = 1.52170894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61988371196094))-π/2
    2×atan(0.197921713673399)-π/2
    2×0.195396411274361-π/2
    0.390792822548722-1.57079632675     		φ = -1.18000350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52170894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18000350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.609220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 380 KachelY 388 1.52170894 -1.18000350 87.187500 -67.609220
    Oben rechts KachelX + 1 381 KachelY 388 1.53398079 -1.18000350 87.890625 -67.609220
    Unten links KachelX 380 KachelY + 1 389 1.52170894 -1.18465168 87.187500 -67.875541
    Unten rechts KachelX + 1 381 KachelY + 1 389 1.53398079 -1.18465168 87.890625 -67.875541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18000350--1.18465168) × R
    0.00464818 × 6371000     		dl = 29613.55478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18000350--1.18465168) × R
    0.00464818 × 6371000     		dr = 29613.55478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52170894-1.53398079) × cos(-1.18000350) × R
    0.0122718500000001 × 0.380921588243505 × 6371000     		do = 29781.9568280031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52170894-1.53398079) × cos(-1.18465168) × R
    0.0122718500000001 × 0.376619747339496 × 6371000     		du = 29445.6218865394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18000350)-sin(-1.18465168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380921588243505-0.376619747339496)×R²
    abs(1.53398079-1.52170894)×0.00430184090400965×R²
    0.0122718500000001×0.00430184090400965×6371000²
    0.0122718500000001×0.00430184090400965×40589641000000     		ar = 876971152.331183m²