Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 382 / 898
↖ ↑ ↗
← S 79.302640°
W 45.703125°		 ← 7 256.30 m → S 79.302640°
W 45.351563°		 →
↑
7 234.46 m
↓
↑
7 234.46 m
↓
S 79.367701°
W 45.703125°		 ← 7 212.68 m →
52 337 631 m²		 S 79.367701°
W 45.351563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37353515625 y=0.87744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37353515625 × 210)
    floor (0.37353515625 × 1024)
    floor (382.5)     		tx = 382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.87744140625 × 210)
    floor (0.87744140625 × 1024)
    floor (898.5)     		ty = 898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 382 / 898 ti = "10/382/898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/382/898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 382 ÷ 210
    382 ÷ 1024     		x = 0.373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 898 ÷ 210
    898 ÷ 1024     		y = 0.876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373046875 × 2 - 1) × π
    -0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876953125 × 2 - 1) × π
    -0.75390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.36846633642773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79767001} λ = -0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36846633642773))-π/2
    2×atan(0.0936242042580125)-π/2
    2×0.0933520799532962-π/2
    0.186704159906592-1.57079632675     		φ = -1.38409217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38409217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.302640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 382 KachelY 898 -0.79767001 -1.38409217 -45.703125 -79.302640
    Oben rechts KachelX + 1 383 KachelY 898 -0.79153409 -1.38409217 -45.351563 -79.302640
    Unten links KachelX 382 KachelY + 1 899 -0.79767001 -1.38522770 -45.703125 -79.367701
    Unten rechts KachelX + 1 383 KachelY + 1 899 -0.79153409 -1.38522770 -45.351563 -79.367701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38409217--1.38522770) × R
    0.00113553 × 6371000     		dl = 7234.46162999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38409217--1.38522770) × R
    0.00113553 × 6371000     		dr = 7234.46162999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79767001--0.79153409) × cos(-1.38409217) × R
    0.00613592000000007 × 0.18562134310359 × 6371000     		do = 7256.29958045195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79767001--0.79153409) × cos(-1.38522770) × R
    0.00613592000000007 × 0.184505427649398 × 6371000     		du = 7212.67627341898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38409217)-sin(-1.38522770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18562134310359-0.184505427649398)×R²
    abs(-0.79153409--0.79767001)×0.00111591545419282×R²
    0.00613592000000007×0.00111591545419282×6371000²
    0.00613592000000007×0.00111591545419282×40589641000000     		ar = 52337630.943925m²