Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 383 / 897
↖ ↑ ↗
← S 79.237185°
W 45.351563°		 ← 7 300.19 m → S 79.237185°
W 45.000000°		 →
↑
7 278.23 m
↓
↑
7 278.23 m
↓
S 79.302640°
W 45.351563°		 ← 7 256.31 m →
52 972 789 m²		 S 79.302640°
W 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37451171875 y=0.87646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37451171875 × 210)
    floor (0.37451171875 × 1024)
    floor (383.5)     		tx = 383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.87646484375 × 210)
    floor (0.87646484375 × 1024)
    floor (897.5)     		ty = 897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 383 / 897 ti = "10/383/897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/383/897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 383 ÷ 210
    383 ÷ 1024     		x = 0.3740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 897 ÷ 210
    897 ÷ 1024     		y = 0.8759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3740234375 × 2 - 1) × π
    -0.251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79153409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8759765625 × 2 - 1) × π
    -0.751953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.36233041327637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79153409} λ = -0.79153409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36233041327637))-π/2
    2×atan(0.0942004412454626)-π/2
    2×0.0939232792196468-π/2
    0.187846558439294-1.57079632675     		φ = -1.38294977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79153409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.351563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38294977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.237185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 383 KachelY 897 -0.79153409 -1.38294977 -45.351563 -79.237185
    Oben rechts KachelX + 1 384 KachelY 897 -0.78539816 -1.38294977 -45.000000 -79.237185
    Unten links KachelX 383 KachelY + 1 898 -0.79153409 -1.38409217 -45.351563 -79.302640
    Unten rechts KachelX + 1 384 KachelY + 1 898 -0.78539816 -1.38409217 -45.000000 -79.302640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38294977--1.38409217) × R
    0.00114239999999999 × 6371000     		dl = 7278.23039999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38294977--1.38409217) × R
    0.00114239999999999 × 6371000     		dr = 7278.23039999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79153409--0.78539816) × cos(-1.38294977) × R
    0.00613593000000001 × 0.186743768364246 × 6371000     		do = 7300.18926593512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79153409--0.78539816) × cos(-1.38409217) × R
    0.00613593000000001 × 0.18562134310359 × 6371000     		du = 7256.31140638764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38294977)-sin(-1.38409217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186743768364246-0.18562134310359)×R²
    abs(-0.78539816--0.79153409)×0.00112242526065576×R²
    0.00613593000000001×0.00112242526065576×6371000²
    0.00613593000000001×0.00112242526065576×40589641000000     		ar = 52972788.6165886m²