Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 384 / 127
↖ ↑ ↗
← N 66.791909°
E 90.000000°		 ← 30.810 km → N 66.791909°
E 90.703125°		 →
↑
30.984 km
↓
↑
30.984 km
↓
N 66.513260°
E 90.000000°		 ← 31.159 km →
960.040 km²		 N 66.513260°
E 90.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7509765625 y=0.2490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7509765625 × 29)
    floor (0.7509765625 × 512)
    floor (384.5)     		tx = 384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2490234375 × 29)
    floor (0.2490234375 × 512)
    floor (127.5)     		ty = 127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 384 / 127 ti = "9/384/127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/384/127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 384 ÷ 29
    384 ÷ 512     		x = 0.75
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 127 ÷ 29
    127 ÷ 512     		y = 0.248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75 × 2 - 1) × π
    0.5 × 3.1415926535     		Λ = 1.57079633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248046875 × 2 - 1) × π
    0.50390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.58306817305273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57079633} λ = 1.57079633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58306817305273))-π/2
    2×atan(4.86987453073291)-π/2
    2×1.3682675303911-π/2
    2.7365350607822-1.57079632675     		φ = 1.16573873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57079633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16573873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.791909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 384 KachelY 127 1.57079633 1.16573873 90.000000 66.791909
    Oben rechts KachelX + 1 385 KachelY 127 1.58306817 1.16573873 90.703125 66.791909
    Unten links KachelX 384 KachelY + 1 128 1.57079633 1.16087539 90.000000 66.513260
    Unten rechts KachelX + 1 385 KachelY + 1 128 1.58306817 1.16087539 90.703125 66.513260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16573873-1.16087539) × R
    0.00486333999999999 × 6371000     		dl = 30984.33914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16573873-1.16087539) × R
    0.00486333999999999 × 6371000     		dr = 30984.33914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57079633-1.58306817) × cos(1.16573873) × R
    0.0122718399999999 × 0.394071697069453 × 6371000     		do = 30810.0592561405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57079633-1.58306817) × cos(1.16087539) × R
    0.0122718399999999 × 0.398536816226928 × 6371000     		du = 31159.1596529734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16573873)-sin(1.16087539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394071697069453-0.398536816226928)×R²
    abs(1.58306817-1.57079633)×0.00446511915747533×R²
    0.0122718399999999×0.00446511915747533×6371000²
    0.0122718399999999×0.00446511915747533×40589641000000     		ar = 960039539.705191m²