Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 384 / 896
↖ ↑ ↗
← S 79.171334°
W 45.000000°		 ← 7 344.31 m → S 79.171334°
W 44.648437°		 →
↑
7 322.25 m
↓
↑
7 322.25 m
↓
S 79.237185°
W 45.000000°		 ← 7 300.18 m →
53 615 338 m²		 S 79.237185°
W 44.648437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37548828125 y=0.87548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37548828125 × 210)
    floor (0.37548828125 × 1024)
    floor (384.5)     		tx = 384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.87548828125 × 210)
    floor (0.87548828125 × 1024)
    floor (896.5)     		ty = 896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 384 / 896 ti = "10/384/896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/384/896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 384 ÷ 210
    384 ÷ 1024     		x = 0.375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 896 ÷ 210
    896 ÷ 1024     		y = 0.875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375 × 2 - 1) × π
    -0.25 × 3.1415926535     		Λ = -0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875 × 2 - 1) × π
    -0.75 × 3.1415926535     		Φ = -2.356194490125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78539816} λ = -0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.356194490125))-π/2
    2×atan(0.0947802248485378)-π/2
    2×0.0944979320635037-π/2
    0.188995864127007-1.57079632675     		φ = -1.38180046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38180046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.171334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 384 KachelY 896 -0.78539816 -1.38180046 -45.000000 -79.171334
    Oben rechts KachelX + 1 385 KachelY 896 -0.77926224 -1.38180046 -44.648437 -79.171334
    Unten links KachelX 384 KachelY + 1 897 -0.78539816 -1.38294977 -45.000000 -79.237185
    Unten rechts KachelX + 1 385 KachelY + 1 897 -0.77926224 -1.38294977 -44.648437 -79.237185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38180046--1.38294977) × R
    0.00114930999999996 × 6371000     		dl = 7322.25400999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38180046--1.38294977) × R
    0.00114930999999996 × 6371000     		dr = 7322.25400999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78539816--0.77926224) × cos(-1.38180046) × R
    0.00613591999999996 × 0.187872736870527 × 6371000     		do = 7344.31094473408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78539816--0.77926224) × cos(-1.38294977) × R
    0.00613591999999996 × 0.186743768364246 × 6371000     		du = 7300.17736848958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38180046)-sin(-1.38294977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187872736870527-0.186743768364246)×R²
    abs(-0.77926224--0.78539816)×0.00112896850628091×R²
    0.00613591999999996×0.00112896850628091×6371000²
    0.00613591999999996×0.00112896850628091×40589641000000     		ar = 53615337.5397114m²