Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3840 / 7936
↖ ↑ ↗
← S 83.979259°
W 11.250000°		 ← 512.54 m → S 83.979259°
W 11.206055°		 →
↑
512.36 m
↓
↑
512.36 m
↓
S 83.983867°
W 11.250000°		 ← 512.15 m →
262 501 m²		 S 83.983867°
W 11.206055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46881103515625 y=0.96881103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46881103515625 × 213)
    floor (0.46881103515625 × 8192)
    floor (3840.5)     		tx = 3840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.96881103515625 × 213)
    floor (0.96881103515625 × 8192)
    floor (7936.5)     		ty = 7936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3840 / 7936 ti = "13/3840/7936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3840/7936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3840 ÷ 213
    3840 ÷ 8192     		x = 0.46875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7936 ÷ 213
    7936 ÷ 8192     		y = 0.96875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46875 × 2 - 1) × π
    -0.0625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.96875 × 2 - 1) × π
    -0.9375 × 3.1415926535     		Φ = -2.94524311265625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19634954} λ = -0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.94524311265625))-π/2
    2×atan(0.0525892731441516)-π/2
    2×0.0525408725809301-π/2
    0.10508174516186-1.57079632675     		φ = -1.46571458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.46571458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.979259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3840 KachelY 7936 -0.19634954 -1.46571458 -11.250000 -83.979259
    Oben rechts KachelX + 1 3841 KachelY 7936 -0.19558255 -1.46571458 -11.206055 -83.979259
    Unten links KachelX 3840 KachelY + 1 7937 -0.19634954 -1.46579500 -11.250000 -83.983867
    Unten rechts KachelX + 1 3841 KachelY + 1 7937 -0.19558255 -1.46579500 -11.206055 -83.983867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.46571458--1.46579500) × R
    8.041999999997e-05 × 6371000     		dl = 512.355819999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.46571458--1.46579500) × R
    8.041999999997e-05 × 6371000     		dr = 512.355819999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19634954--0.19558255) × cos(-1.46571458) × R
    0.000766989999999995 × 0.104888465058156 × 6371000     		do = 512.536780705076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19634954--0.19558255) × cos(-1.46579500) × R
    0.000766989999999995 × 0.104808488316447 × 6371000     		du = 512.14597489336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.46571458)-sin(-1.46579500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.104888465058156-0.104808488316447)×R²
    abs(-0.19558255--0.19634954)×7.99767417089398e-05×R²
    0.000766989999999995×7.99767417089398e-05×6371000²
    0.000766989999999995×7.99767417089398e-05×40589641000000     		ar = 262501.086883472m²