Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3841 / 5889
↖ ↑ ↗
← S 61.627287°
W 11.206055°		 ← 2 322.09 m → S 61.627287°
W 11.162109°		 →
↑
2 321.27 m
↓
↑
2 321.27 m
↓
S 61.648162°
W 11.206055°		 ← 2 320.52 m →
5 388 382 m²		 S 61.648162°
W 11.162109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46893310546875 y=0.71893310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46893310546875 × 213)
    floor (0.46893310546875 × 8192)
    floor (3841.5)     		tx = 3841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71893310546875 × 213)
    floor (0.71893310546875 × 8192)
    floor (5889.5)     		ty = 5889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3841 / 5889 ti = "13/3841/5889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3841/5889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3841 ÷ 213
    3841 ÷ 8192     		x = 0.4688720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5889 ÷ 213
    5889 ÷ 8192     		y = 0.7188720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4688720703125 × 2 - 1) × π
    -0.062255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19558255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7188720703125 × 2 - 1) × π
    -0.437744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.37521377630017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19558255} λ = -0.19558255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37521377630017))-π/2
    2×atan(0.25278555046843)-π/2
    2×0.247598634495558-π/2
    0.495197268991117-1.57079632675     		φ = -1.07559906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19558255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.206055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07559906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.627287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3841 KachelY 5889 -0.19558255 -1.07559906 -11.206055 -61.627287
    Oben rechts KachelX + 1 3842 KachelY 5889 -0.19481556 -1.07559906 -11.162109 -61.627287
    Unten links KachelX 3841 KachelY + 1 5890 -0.19558255 -1.07596341 -11.206055 -61.648162
    Unten rechts KachelX + 1 3842 KachelY + 1 5890 -0.19481556 -1.07596341 -11.162109 -61.648162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07559906--1.07596341) × R
    0.000364349999999902 × 6371000     		dl = 2321.27384999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07559906--1.07596341) × R
    0.000364349999999902 × 6371000     		dr = 2321.27384999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19558255--0.19481556) × cos(-1.07559906) × R
    0.000766989999999995 × 0.475205230634088 × 6371000     		do = 2322.08717086636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19558255--0.19481556) × cos(-1.07596341) × R
    0.000766989999999995 × 0.474884616648524 × 6371000     		du = 2320.52049277722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07559906)-sin(-1.07596341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475205230634088-0.474884616648524)×R²
    abs(-0.19481556--0.19558255)×0.000320613985564377×R²
    0.000766989999999995×0.000320613985564377×6371000²
    0.000766989999999995×0.000320613985564377×40589641000000     		ar = 5388381.9423237m²