Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3842 / 5890
↖ ↑ ↗
← S 61.648162°
W 11.162109°		 ← 2 320.52 m → S 61.648162°
W 11.118164°		 →
↑
2 319.74 m
↓
↑
2 319.74 m
↓
S 61.669024°
W 11.162109°		 ← 2 318.95 m →
5 381 199 m²		 S 61.669024°
W 11.118164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46905517578125 y=0.71905517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46905517578125 × 213)
    floor (0.46905517578125 × 8192)
    floor (3842.5)     		tx = 3842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71905517578125 × 213)
    floor (0.71905517578125 × 8192)
    floor (5890.5)     		ty = 5890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3842 / 5890 ti = "13/3842/5890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3842/5890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3842 ÷ 213
    3842 ÷ 8192     		x = 0.468994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5890 ÷ 213
    5890 ÷ 8192     		y = 0.718994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468994140625 × 2 - 1) × π
    -0.06201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19481556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718994140625 × 2 - 1) × π
    -0.43798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.37598076669409
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19481556} λ = -0.19481556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37598076669409))-π/2
    2×atan(0.25259174071411)-π/2
    2×0.247416457053984-π/2
    0.494832914107969-1.57079632675     		φ = -1.07596341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19481556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.162109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07596341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.648162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3842 KachelY 5890 -0.19481556 -1.07596341 -11.162109 -61.648162
    Oben rechts KachelX + 1 3843 KachelY 5890 -0.19404857 -1.07596341 -11.118164 -61.648162
    Unten links KachelX 3842 KachelY + 1 5891 -0.19481556 -1.07632752 -11.162109 -61.669024
    Unten rechts KachelX + 1 3843 KachelY + 1 5891 -0.19404857 -1.07632752 -11.118164 -61.669024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07596341--1.07632752) × R
    0.000364110000000029 × 6371000     		dl = 2319.74481000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07596341--1.07632752) × R
    0.000364110000000029 × 6371000     		dr = 2319.74481000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19481556--0.19404857) × cos(-1.07596341) × R
    0.000766989999999995 × 0.474884616648524 × 6371000     		do = 2320.52049277722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19481556--0.19404857) × cos(-1.07632752) × R
    0.000766989999999995 × 0.474564150874623 × 6371000     		du = 2318.95453892338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07596341)-sin(-1.07632752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.474884616648524-0.474564150874623)×R²
    abs(-0.19404857--0.19481556)×0.000320465773900491×R²
    0.000766989999999995×0.000320465773900491×6371000²
    0.000766989999999995×0.000320465773900491×40589641000000     		ar = 5381199.12240807m²