Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3844 / 5380
↖ ↑ ↗
← S 49.037868°
W 11.074219°		 ← 3 203.39 m → S 49.037868°
W 11.030274°		 →
↑
3 202.51 m
↓
↑
3 202.51 m
↓
S 49.066669°
W 11.074219°		 ← 3 201.53 m →
10 255 920 m²		 S 49.066669°
W 11.030274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46929931640625 y=0.65679931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46929931640625 × 213)
    floor (0.46929931640625 × 8192)
    floor (3844.5)     		tx = 3844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65679931640625 × 213)
    floor (0.65679931640625 × 8192)
    floor (5380.5)     		ty = 5380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3844 / 5380 ti = "13/3844/5380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3844/5380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3844 ÷ 213
    3844 ÷ 8192     		x = 0.46923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5380 ÷ 213
    5380 ÷ 8192     		y = 0.65673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46923828125 × 2 - 1) × π
    -0.0615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19328158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65673828125 × 2 - 1) × π
    -0.3134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.984815665794434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19328158} λ = -0.19328158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.984815665794434))-π/2
    2×atan(0.37350807090484)-π/2
    2×0.357462036504608-π/2
    0.714924073009217-1.57079632675     		φ = -0.85587225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19328158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.074219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85587225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.037868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3844 KachelY 5380 -0.19328158 -0.85587225 -11.074219 -49.037868
    Oben rechts KachelX + 1 3845 KachelY 5380 -0.19251459 -0.85587225 -11.030274 -49.037868
    Unten links KachelX 3844 KachelY + 1 5381 -0.19328158 -0.85637492 -11.074219 -49.066669
    Unten rechts KachelX + 1 3845 KachelY + 1 5381 -0.19251459 -0.85637492 -11.030274 -49.066669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85587225--0.85637492) × R
    0.000502670000000038 × 6371000     		dl = 3202.51057000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85587225--0.85637492) × R
    0.000502670000000038 × 6371000     		dr = 3202.51057000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19328158--0.19251459) × cos(-0.85587225) × R
    0.000766989999999995 × 0.655560085708572 × 6371000     		do = 3203.38996000674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19328158--0.19251459) × cos(-0.85637492) × R
    0.000766989999999995 × 0.655180415162382 × 6371000     		du = 3201.53470243037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85587225)-sin(-0.85637492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655560085708572-0.655180415162382)×R²
    abs(-0.19251459--0.19328158)×0.000379670546189925×R²
    0.000766989999999995×0.000379670546189925×6371000²
    0.000766989999999995×0.000379670546189925×40589641000000     		ar = 10255919.6817075m²