Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3848 / 5384
↖ ↑ ↗
← S 49.152970°
W 10.898438°		 ← 3 195.97 m → S 49.152970°
W 10.854492°		 →
↑
3 195.06 m
↓
↑
3 195.06 m
↓
S 49.181704°
W 10.898438°		 ← 3 194.12 m →
10 208 345 m²		 S 49.181704°
W 10.854492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46978759765625 y=0.65728759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46978759765625 × 213)
    floor (0.46978759765625 × 8192)
    floor (3848.5)     		tx = 3848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65728759765625 × 213)
    floor (0.65728759765625 × 8192)
    floor (5384.5)     		ty = 5384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3848 / 5384 ti = "13/3848/5384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3848/5384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3848 ÷ 213
    3848 ÷ 8192     		x = 0.4697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5384 ÷ 213
    5384 ÷ 8192     		y = 0.6572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4697265625 × 2 - 1) × π
    -0.060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19021362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6572265625 × 2 - 1) × π
    -0.314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.987883627370117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19021362} λ = -0.19021362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.987883627370117))-π/2
    2×atan(0.372363918500337)-π/2
    2×0.356457584590163-π/2
    0.712915169180325-1.57079632675     		φ = -0.85788116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19021362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.898438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85788116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.152970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3848 KachelY 5384 -0.19021362 -0.85788116 -10.898438 -49.152970
    Oben rechts KachelX + 1 3849 KachelY 5384 -0.18944663 -0.85788116 -10.854492 -49.152970
    Unten links KachelX 3848 KachelY + 1 5385 -0.19021362 -0.85838266 -10.898438 -49.181704
    Unten rechts KachelX + 1 3849 KachelY + 1 5385 -0.18944663 -0.85838266 -10.854492 -49.181704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85788116--0.85838266) × R
    0.000501499999999933 × 6371000     		dl = 3195.05649999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85788116--0.85838266) × R
    0.000501499999999933 × 6371000     		dr = 3195.05649999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19021362--0.18944663) × cos(-0.85788116) × R
    0.000766989999999995 × 0.654041749545626 × 6371000     		do = 3195.97062053454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19021362--0.18944663) × cos(-0.85838266) × R
    0.000766989999999995 × 0.653662303401283 × 6371000     		du = 3194.1164594963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85788116)-sin(-0.85838266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654041749545626-0.653662303401283)×R²
    abs(-0.18944663--0.19021362)×0.00037944614434271×R²
    0.000766989999999995×0.00037944614434271×6371000²
    0.000766989999999995×0.00037944614434271×40589641000000     		ar = 10208344.8442608m²