Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3848 / 5896
↖ ↑ ↗
← S 61.773123°
W 10.898438°		 ← 2 311.14 m → S 61.773123°
W 10.854492°		 →
↑
2 310.38 m
↓
↑
2 310.38 m
↓
S 61.793900°
W 10.898438°		 ← 2 309.57 m →
5 337 797 m²		 S 61.793900°
W 10.854492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46978759765625 y=0.71978759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46978759765625 × 213)
    floor (0.46978759765625 × 8192)
    floor (3848.5)     		tx = 3848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71978759765625 × 213)
    floor (0.71978759765625 × 8192)
    floor (5896.5)     		ty = 5896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3848 / 5896 ti = "13/3848/5896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3848/5896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3848 ÷ 213
    3848 ÷ 8192     		x = 0.4697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5896 ÷ 213
    5896 ÷ 8192     		y = 0.7197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4697265625 × 2 - 1) × π
    -0.060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19021362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7197265625 × 2 - 1) × π
    -0.439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.38058270905762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19021362} λ = -0.19021362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38058270905762))-π/2
    2×atan(0.251431998661621)-π/2
    2×0.246325971794247-π/2
    0.492651943588495-1.57079632675     		φ = -1.07814438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19021362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.898438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07814438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.773123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3848 KachelY 5896 -0.19021362 -1.07814438 -10.898438 -61.773123
    Oben rechts KachelX + 1 3849 KachelY 5896 -0.18944663 -1.07814438 -10.854492 -61.773123
    Unten links KachelX 3848 KachelY + 1 5897 -0.19021362 -1.07850702 -10.898438 -61.793900
    Unten rechts KachelX + 1 3849 KachelY + 1 5897 -0.18944663 -1.07850702 -10.854492 -61.793900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07814438--1.07850702) × R
    0.000362640000000081 × 6371000     		dl = 2310.37944000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07814438--1.07850702) × R
    0.000362640000000081 × 6371000     		dr = 2310.37944000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19021362--0.18944663) × cos(-1.07814438) × R
    0.000766989999999995 × 0.472964130311865 × 6371000     		do = 2311.1360491796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19021362--0.18944663) × cos(-1.07850702) × R
    0.000766989999999995 × 0.472644583758257 × 6371000     		du = 2309.57458708955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07814438)-sin(-1.07850702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.472964130311865-0.472644583758257)×R²
    abs(-0.18944663--0.19021362)×0.000319546553608774×R²
    0.000766989999999995×0.000319546553608774×6371000²
    0.000766989999999995×0.000319546553608774×40589641000000     		ar = 5337797.48461131m²