Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 385 / 128
↖ ↑ ↗
← N 66.513260°
E 90.703125°		 ← 31.159 km → N 66.513260°
E 91.406250°		 →
↑
31.335 km
↓
↑
31.335 km
↓
N 66.231457°
E 90.703125°		 ← 31.511 km →
981.897 km²		 N 66.231457°
E 91.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7529296875 y=0.2509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7529296875 × 29)
    floor (0.7529296875 × 512)
    floor (385.5)     		tx = 385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2509765625 × 29)
    floor (0.2509765625 × 512)
    floor (128.5)     		ty = 128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 385 / 128 ti = "9/385/128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/385/128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 385 ÷ 29
    385 ÷ 512     		x = 0.751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 128 ÷ 29
    128 ÷ 512     		y = 0.25
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751953125 × 2 - 1) × π
    0.50390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.58306817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25 × 2 - 1) × π
    0.5 × 3.1415926535     		Φ = 1.57079632675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58306817} λ = 1.58306817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57079632675))-π/2
    2×atan(4.81047738074938)-π/2
    2×1.3658358588729-π/2
    2.73167171774581-1.57079632675     		φ = 1.16087539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58306817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16087539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.513260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 385 KachelY 128 1.58306817 1.16087539 90.703125 66.513260
    Oben rechts KachelX + 1 386 KachelY 128 1.59534002 1.16087539 91.406250 66.513260
    Unten links KachelX 385 KachelY + 1 129 1.58306817 1.15595700 90.703125 66.231457
    Unten rechts KachelX + 1 386 KachelY + 1 129 1.59534002 1.15595700 91.406250 66.231457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16087539-1.15595700) × R
    0.00491839000000005 × 6371000     		dl = 31335.0626900003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16087539-1.15595700) × R
    0.00491839000000005 × 6371000     		dr = 31335.0626900003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58306817-1.59534002) × cos(1.16087539) × R
    0.0122718500000001 × 0.398536816226928 × 6371000     		do = 31159.1850437543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58306817-1.59534002) × cos(1.15595700) × R
    0.0122718500000001 × 0.403042890509652 × 6371000     		du = 31511.4877587847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16087539)-sin(1.15595700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398536816226928-0.403042890509652)×R²
    abs(1.59534002-1.58306817)×0.00450607428272387×R²
    0.0122718500000001×0.00450607428272387×6371000²
    0.0122718500000001×0.00450607428272387×40589641000000     		ar = 981896709.932785m²