Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 385 / 129
↖ ↑ ↗
← N 66.231457°
E 90.703125°		 ← 31.511 km → N 66.231457°
E 91.406250°		 →
↑
31.689 km
↓
↑
31.689 km
↓
N 65.946472°
E 90.703125°		 ← 31.867 km →
1 004.20 km²		 N 65.946472°
E 91.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7529296875 y=0.2529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7529296875 × 29)
    floor (0.7529296875 × 512)
    floor (385.5)     		tx = 385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2529296875 × 29)
    floor (0.2529296875 × 512)
    floor (129.5)     		ty = 129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 385 / 129 ti = "9/385/129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/385/129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 385 ÷ 29
    385 ÷ 512     		x = 0.751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 129 ÷ 29
    129 ÷ 512     		y = 0.251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751953125 × 2 - 1) × π
    0.50390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.58306817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251953125 × 2 - 1) × π
    0.49609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.55852448044727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58306817} λ = 1.58306817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.55852448044727))-π/2
    2×atan(4.75180468914848)-π/2
    2×1.36337666408679-π/2
    2.72675332817358-1.57079632675     		φ = 1.15595700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58306817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15595700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.231457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 385 KachelY 129 1.58306817 1.15595700 90.703125 66.231457
    Oben rechts KachelX + 1 386 KachelY 129 1.59534002 1.15595700 91.406250 66.231457
    Unten links KachelX 385 KachelY + 1 130 1.58306817 1.15098306 90.703125 65.946472
    Unten rechts KachelX + 1 386 KachelY + 1 130 1.59534002 1.15098306 91.406250 65.946472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15595700-1.15098306) × R
    0.00497393999999995 × 6371000     		dl = 31688.9717399997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15595700-1.15098306) × R
    0.00497393999999995 × 6371000     		dr = 31688.9717399997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58306817-1.59534002) × cos(1.15595700) × R
    0.0122718500000001 × 0.403042890509652 × 6371000     		do = 31511.4877587847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58306817-1.59534002) × cos(1.15098306) × R
    0.0122718500000001 × 0.407589941927033 × 6371000     		du = 31866.9942283224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15595700)-sin(1.15098306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403042890509652-0.407589941927033)×R²
    abs(1.59534002-1.58306817)×0.0045470514173816×R²
    0.0122718500000001×0.0045470514173816×6371000²
    0.0122718500000001×0.0045470514173816×40589641000000     		ar = 1004201532.6431m²