Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 385 / 130
↖ ↑ ↗
← N 65.946472°
E 90.703125°		 ← 31.867 km → N 65.946472°
E 91.406250°		 →
↑
32.046 km
↓
↑
32.046 km
↓
N 65.658274°
E 90.703125°		 ← 32.226 km →
1 026.96 km²		 N 65.658274°
E 91.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7529296875 y=0.2548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7529296875 × 29)
    floor (0.7529296875 × 512)
    floor (385.5)     		tx = 385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2548828125 × 29)
    floor (0.2548828125 × 512)
    floor (130.5)     		ty = 130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 385 / 130 ti = "9/385/130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/385/130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 385 ÷ 29
    385 ÷ 512     		x = 0.751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 130 ÷ 29
    130 ÷ 512     		y = 0.25390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751953125 × 2 - 1) × π
    0.50390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.58306817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25390625 × 2 - 1) × π
    0.4921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.54625263414453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58306817} λ = 1.58306817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54625263414453))-π/2
    2×atan(4.69384761981689)-π/2
    2×1.36088969467217-π/2
    2.72177938934434-1.57079632675     		φ = 1.15098306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58306817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15098306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.946472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 385 KachelY 130 1.58306817 1.15098306 90.703125 65.946472
    Oben rechts KachelX + 1 386 KachelY 130 1.59534002 1.15098306 91.406250 65.946472
    Unten links KachelX 385 KachelY + 1 131 1.58306817 1.14595307 90.703125 65.658274
    Unten rechts KachelX + 1 386 KachelY + 1 131 1.59534002 1.14595307 91.406250 65.658274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15098306-1.14595307) × R
    0.00502998999999993 × 6371000     		dl = 32046.0662899995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15098306-1.14595307) × R
    0.00502998999999993 × 6371000     		dr = 32046.0662899995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58306817-1.59534002) × cos(1.15098306) × R
    0.0122718500000001 × 0.407589941927033 × 6371000     		do = 31866.9942283224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58306817-1.59534002) × cos(1.14595307) × R
    0.0122718500000001 × 0.412177977547995 × 6371000     		du = 32225.705005044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15098306)-sin(1.14595307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407589941927033-0.412177977547995)×R²
    abs(1.59534002-1.58306817)×0.00458803562096188×R²
    0.0122718500000001×0.00458803562096188×6371000²
    0.0122718500000001×0.00458803562096188×40589641000000     		ar = 1026961609.41543m²