Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 385 / 641
↖ ↑ ↗
← S 41.244773°
W 44.648437°		 ← 29.393 km → S 41.244773°
W 44.296875°		 →
↑
29.334 km
↓
↑
29.334 km
↓
S 41.508577°
W 44.648437°		 ← 29.274 km →
860.470 km²		 S 41.508577°
W 44.296875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37646484375 y=0.62646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37646484375 × 210)
    floor (0.37646484375 × 1024)
    floor (385.5)     		tx = 385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62646484375 × 210)
    floor (0.62646484375 × 1024)
    floor (641.5)     		ty = 641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 385 / 641 ti = "10/385/641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/385/641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 385 ÷ 210
    385 ÷ 1024     		x = 0.3759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 641 ÷ 210
    641 ÷ 1024     		y = 0.6259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3759765625 × 2 - 1) × π
    -0.248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77926224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6259765625 × 2 - 1) × π
    -0.251953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.791534086526367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77926224} λ = -0.77926224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.791534086526367))-π/2
    2×atan(0.453149091867909)-π/2
    2×0.425469625094814-π/2
    0.850939250189629-1.57079632675     		φ = -0.71985708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77926224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71985708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.244773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 385 KachelY 641 -0.77926224 -0.71985708 -44.648437 -41.244773
    Oben rechts KachelX + 1 386 KachelY 641 -0.77312632 -0.71985708 -44.296875 -41.244773
    Unten links KachelX 385 KachelY + 1 642 -0.77926224 -0.72446134 -44.648437 -41.508577
    Unten rechts KachelX + 1 386 KachelY + 1 642 -0.77312632 -0.72446134 -44.296875 -41.508577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71985708--0.72446134) × R
    0.00460425999999992 × 6371000     		dl = 29333.7404599995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71985708--0.72446134) × R
    0.00460425999999992 × 6371000     		dr = 29333.7404599995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77926224--0.77312632) × cos(-0.71985708) × R
    0.00613591999999996 × 0.751899960719653 × 6371000     		do = 29393.2329024626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77926224--0.77312632) × cos(-0.72446134) × R
    0.00613591999999996 × 0.748856517896165 × 6371000     		du = 29274.2587989788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71985708)-sin(-0.72446134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751899960719653-0.748856517896165)×R²
    abs(-0.77312632--0.77926224)×0.00304344282348779×R²
    0.00613591999999996×0.00304344282348779×6371000²
    0.00613591999999996×0.00304344282348779×40589641000000     		ar = 860470007.612218m²