Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 386 / 634
↖ ↑ ↗
← S 39.368279°
W 44.296875°		 ← 30.221 km → S 39.368279°
W 43.945312°		 →
↑
30.163 km
↓
↑
30.163 km
↓
S 39.639537°
W 44.296875°		 ← 30.104 km →
909.782 km²		 S 39.639537°
W 43.945312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37744140625 y=0.61962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37744140625 × 210)
    floor (0.37744140625 × 1024)
    floor (386.5)     		tx = 386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.61962890625 × 210)
    floor (0.61962890625 × 1024)
    floor (634.5)     		ty = 634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 386 / 634 ti = "10/386/634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/386/634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 386 ÷ 210
    386 ÷ 1024     		x = 0.376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 634 ÷ 210
    634 ÷ 1024     		y = 0.619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376953125 × 2 - 1) × π
    -0.24609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77312632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619140625 × 2 - 1) × π
    -0.23828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.748582624466797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77312632} λ = -0.77312632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.748582624466797))-π/2
    2×atan(0.473036548241022)-π/2
    2×0.441845117407181-π/2
    0.883690234814362-1.57079632675     		φ = -0.68710609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77312632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68710609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.368279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 386 KachelY 634 -0.77312632 -0.68710609 -44.296875 -39.368279
    Oben rechts KachelX + 1 387 KachelY 634 -0.76699039 -0.68710609 -43.945312 -39.368279
    Unten links KachelX 386 KachelY + 1 635 -0.77312632 -0.69184044 -44.296875 -39.639537
    Unten rechts KachelX + 1 387 KachelY + 1 635 -0.76699039 -0.69184044 -43.945312 -39.639537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68710609--0.69184044) × R
    0.00473435 × 6371000     		dl = 30162.54385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68710609--0.69184044) × R
    0.00473435 × 6371000     		dr = 30162.54385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77312632--0.76699039) × cos(-0.68710609) × R
    0.00613593000000001 × 0.773084864262395 × 6371000     		do = 30221.4412677868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77312632--0.76699039) × cos(-0.69184044) × R
    0.00613593000000001 × 0.770073200977456 × 6371000     		du = 30103.709296445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68710609)-sin(-0.69184044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773084864262395-0.770073200977456)×R²
    abs(-0.76699039--0.77312632)×0.00301166328493885×R²
    0.00613593000000001×0.00301166328493885×6371000²
    0.00613593000000001×0.00301166328493885×40589641000000     		ar = 909781698.902254m²