Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 386 / 646
↖ ↑ ↗
← S 42.553080°
W 44.296875°		 ← 28.797 km → S 42.553080°
W 43.945312°		 →
↑
28.737 km
↓
↑
28.737 km
↓
S 42.811522°
W 44.296875°		 ← 28.678 km →
825.838 km²		 S 42.811522°
W 43.945312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37744140625 y=0.63134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37744140625 × 210)
    floor (0.37744140625 × 1024)
    floor (386.5)     		tx = 386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63134765625 × 210)
    floor (0.63134765625 × 1024)
    floor (646.5)     		ty = 646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 386 / 646 ti = "10/386/646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/386/646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 386 ÷ 210
    386 ÷ 1024     		x = 0.376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 646 ÷ 210
    646 ÷ 1024     		y = 0.630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376953125 × 2 - 1) × π
    -0.24609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77312632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630859375 × 2 - 1) × π
    -0.26171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.822213702283203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77312632} λ = -0.77312632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.822213702283203))-π/2
    2×atan(0.439457748313722)-π/2
    2×0.414052484452215-π/2
    0.82810496890443-1.57079632675     		φ = -0.74269136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77312632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74269136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.553080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 386 KachelY 646 -0.77312632 -0.74269136 -44.296875 -42.553080
    Oben rechts KachelX + 1 387 KachelY 646 -0.76699039 -0.74269136 -43.945312 -42.553080
    Unten links KachelX 386 KachelY + 1 647 -0.77312632 -0.74720201 -44.296875 -42.811522
    Unten rechts KachelX + 1 387 KachelY + 1 647 -0.76699039 -0.74720201 -43.945312 -42.811522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74269136--0.74720201) × R
    0.00451064999999995 × 6371000     		dl = 28737.3511499997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74269136--0.74720201) × R
    0.00451064999999995 × 6371000     		dr = 28737.3511499997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77312632--0.76699039) × cos(-0.74269136) × R
    0.00613593000000001 × 0.736651134889731 × 6371000     		do = 28797.1735537203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77312632--0.76699039) × cos(-0.74720201) × R
    0.00613593000000001 × 0.733593220717427 × 6371000     		du = 28677.6335422257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74269136)-sin(-0.74720201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736651134889731-0.733593220717427)×R²
    abs(-0.76699039--0.77312632)×0.00305791417230394×R²
    0.00613593000000001×0.00305791417230394×6371000²
    0.00613593000000001×0.00305791417230394×40589641000000     		ar = 825838257.10407m²