Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 387 / 133
↖ ↑ ↗
← N 65.072130°
E 92.109375°		 ← 32.953 km → N 65.072130°
E 92.812500°		 →
↑
33.137 km
↓
↑
33.137 km
↓
N 64.774125°
E 92.109375°		 ← 33.321 km →
1 098.05 km²		 N 64.774125°
E 92.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7568359375 y=0.2607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7568359375 × 29)
    floor (0.7568359375 × 512)
    floor (387.5)     		tx = 387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2607421875 × 29)
    floor (0.2607421875 × 512)
    floor (133.5)     		ty = 133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 387 / 133 ti = "9/387/133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/387/133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 387 ÷ 29
    387 ÷ 512     		x = 0.755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 133 ÷ 29
    133 ÷ 512     		y = 0.259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755859375 × 2 - 1) × π
    0.51171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.60761187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259765625 × 2 - 1) × π
    0.48046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50943709523633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60761187} λ = 1.60761187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50943709523633))-π/2
    2×atan(4.5241833930257)-π/2
    2×1.35325962402831-π/2
    2.70651924805661-1.57079632675     		φ = 1.13572292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60761187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13572292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.072130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 387 KachelY 133 1.60761187 1.13572292 92.109375 65.072130
    Oben rechts KachelX + 1 388 KachelY 133 1.61988371 1.13572292 92.812500 65.072130
    Unten links KachelX 387 KachelY + 1 134 1.60761187 1.13052176 92.109375 64.774125
    Unten rechts KachelX + 1 388 KachelY + 1 134 1.61988371 1.13052176 92.812500 64.774125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13572292-1.13052176) × R
    0.00520116000000015 × 6371000     		dl = 33136.5903600009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13572292-1.13052176) × R
    0.00520116000000015 × 6371000     		dr = 33136.5903600009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60761187-1.61988371) × cos(1.13572292) × R
    0.0122718400000001 × 0.421476970654384 × 6371000     		do = 32952.7102238752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60761187-1.61988371) × cos(1.13052176) × R
    0.0122718400000001 × 0.426187863772093 × 6371000     		du = 33321.0261856287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13572292)-sin(1.13052176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421476970654384-0.426187863772093)×R²
    abs(1.61988371-1.60761187)×0.004710893117709×R²
    0.0122718400000001×0.004710893117709×6371000²
    0.0122718400000001×0.004710893117709×40589641000000     		ar = 1098045302.88141m²