Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 388 / 140
↖ ↑ ↗
← N 62.915233°
E 92.812500°		 ← 35.598 km → N 62.915233°
E 93.515625°		 →
↑
35.793 km
↓
↑
35.793 km
↓
N 62.593341°
E 92.812500°		 ← 35.988 km →
1 281.14 km²		 N 62.593341°
E 93.515625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7587890625 y=0.2744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7587890625 × 29)
    floor (0.7587890625 × 512)
    floor (388.5)     		tx = 388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2744140625 × 29)
    floor (0.2744140625 × 512)
    floor (140.5)     		ty = 140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 388 / 140 ti = "9/388/140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/388/140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 388 ÷ 29
    388 ÷ 512     		x = 0.7578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 140 ÷ 29
    140 ÷ 512     		y = 0.2734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7578125 × 2 - 1) × π
    0.515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.61988371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2734375 × 2 - 1) × π
    0.453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42353417111719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61988371} λ = 1.61988371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42353417111719))-π/2
    2×atan(4.15176759935729)-π/2
    2×1.33443714648737-π/2
    2.66887429297475-1.57079632675     		φ = 1.09807797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61988371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09807797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.915233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 388 KachelY 140 1.61988371 1.09807797 92.812500 62.915233
    Oben rechts KachelX + 1 389 KachelY 140 1.63215556 1.09807797 93.515625 62.915233
    Unten links KachelX 388 KachelY + 1 141 1.61988371 1.09245989 92.812500 62.593341
    Unten rechts KachelX + 1 389 KachelY + 1 141 1.63215556 1.09245989 93.515625 62.593341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09807797-1.09245989) × R
    0.00561808000000008 × 6371000     		dl = 35792.7876800005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09807797-1.09245989) × R
    0.00561808000000008 × 6371000     		dr = 35792.7876800005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61988371-1.63215556) × cos(1.09807797) × R
    0.0122718499999999 × 0.455308209816203 × 6371000     		do = 35597.7972020663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61988371-1.63215556) × cos(1.09245989) × R
    0.0122718499999999 × 0.460302965131908 × 6371000     		du = 35988.3069336483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09807797)-sin(1.09245989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455308209816203-0.460302965131908)×R²
    abs(1.63215556-1.61988371)×0.00499475531570454×R²
    0.0122718499999999×0.00499475531570454×6371000²
    0.0122718499999999×0.00499475531570454×40589641000000     		ar = 1281136482.77612m²