Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 389 / 131
↖ ↑ ↗
← N 65.658274°
E 93.515625°		 ← 32.226 km → N 65.658274°
E 94.218750°		 →
↑
32.406 km
↓
↑
32.406 km
↓
N 65.366837°
E 93.515625°		 ← 32.588 km →
1 050.18 km²		 N 65.366837°
E 94.218750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7607421875 y=0.2568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7607421875 × 29)
    floor (0.7607421875 × 512)
    floor (389.5)     		tx = 389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2568359375 × 29)
    floor (0.2568359375 × 512)
    floor (131.5)     		ty = 131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 389 / 131 ti = "9/389/131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/389/131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 389 ÷ 29
    389 ÷ 512     		x = 0.759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 131 ÷ 29
    131 ÷ 512     		y = 0.255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759765625 × 2 - 1) × π
    0.51953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.63215556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.255859375 × 2 - 1) × π
    0.48828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.5339807878418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63215556} λ = 1.63215556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5339807878418))-π/2
    2×atan(4.63659744441408)-π/2
    2×1.35837469916305-π/2
    2.7167493983261-1.57079632675     		φ = 1.14595307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63215556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14595307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.658274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 389 KachelY 131 1.63215556 1.14595307 93.515625 65.658274
    Oben rechts KachelX + 1 390 KachelY 131 1.64442740 1.14595307 94.218750 65.658274
    Unten links KachelX 389 KachelY + 1 132 1.63215556 1.14086653 93.515625 65.366837
    Unten rechts KachelX + 1 390 KachelY + 1 132 1.64442740 1.14086653 94.218750 65.366837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14595307-1.14086653) × R
    0.00508653999999997 × 6371000     		dl = 32406.3463399998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14595307-1.14086653) × R
    0.00508653999999997 × 6371000     		dr = 32406.3463399998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63215556-1.64442740) × cos(1.14595307) × R
    0.0122718400000001 × 0.412177977547995 × 6371000     		do = 32225.6787451852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63215556-1.64442740) × cos(1.14086653) × R
    0.0122718400000001 × 0.416806989093035 × 6371000     		du = 32587.5928868519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14595307)-sin(1.14086653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412177977547995-0.416806989093035)×R²
    abs(1.64442740-1.63215556)×0.00462901154503964×R²
    0.0122718400000001×0.00462901154503964×6371000²
    0.0122718400000001×0.00462901154503964×40589641000000     		ar = 1050182928.24134m²