Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 389 / 645
↖ ↑ ↗
← S 42.293564°
W 43.242188°		 ← 28.917 km → S 42.293564°
W 42.890625°		 →
↑
28.857 km
↓
↑
28.857 km
↓
S 42.553080°
W 43.242188°		 ← 28.797 km →
832.721 km²		 S 42.553080°
W 42.890625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38037109375 y=0.63037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38037109375 × 210)
    floor (0.38037109375 × 1024)
    floor (389.5)     		tx = 389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63037109375 × 210)
    floor (0.63037109375 × 1024)
    floor (645.5)     		ty = 645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 389 / 645 ti = "10/389/645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/389/645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 389 ÷ 210
    389 ÷ 1024     		x = 0.3798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 645 ÷ 210
    645 ÷ 1024     		y = 0.6298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3798828125 × 2 - 1) × π
    -0.240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75471855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6298828125 × 2 - 1) × π
    -0.259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.816077779131836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75471855} λ = -0.75471855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.816077779131836))-π/2
    2×atan(0.442162516925715)-π/2
    2×0.416317189627603-π/2
    0.832634379255207-1.57079632675     		φ = -0.73816195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75471855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.242188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73816195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.293564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 389 KachelY 645 -0.75471855 -0.73816195 -43.242188 -42.293564
    Oben rechts KachelX + 1 390 KachelY 645 -0.74858262 -0.73816195 -42.890625 -42.293564
    Unten links KachelX 389 KachelY + 1 646 -0.75471855 -0.74269136 -43.242188 -42.553080
    Unten rechts KachelX + 1 390 KachelY + 1 646 -0.74858262 -0.74269136 -42.890625 -42.553080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73816195--0.74269136) × R
    0.00452941000000007 × 6371000     		dl = 28856.8711100004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73816195--0.74269136) × R
    0.00452941000000007 × 6371000     		dr = 28856.8711100004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75471855--0.74858262) × cos(-0.73816195) × R
    0.00613593000000001 × 0.739706685496696 × 6371000     		do = 28916.621168695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75471855--0.74858262) × cos(-0.74269136) × R
    0.00613593000000001 × 0.736651134889731 × 6371000     		du = 28797.1735537203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73816195)-sin(-0.74269136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739706685496696-0.736651134889731)×R²
    abs(-0.74858262--0.75471855)×0.00305555060696505×R²
    0.00613593000000001×0.00305555060696505×6371000²
    0.00613593000000001×0.00305555060696505×40589641000000     		ar = 832721191.432147m²