Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38912 / 38912
↖ ↑ ↗
← S 31.952162°
E 33.750000°		 ← 518.30 m → S 31.952162°
E 33.755493°		 →
↑
518.28 m
↓
↑
518.28 m
↓
S 31.956823°
E 33.750000°		 ← 518.28 m →
268 619 m²		 S 31.956823°
E 33.755493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593757629394531 y=0.593757629394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593757629394531 × 216)
    floor (0.593757629394531 × 65536)
    floor (38912.5)     		tx = 38912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593757629394531 × 216)
    floor (0.593757629394531 × 65536)
    floor (38912.5)     		ty = 38912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38912 / 38912 ti = "16/38912/38912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38912/38912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38912 ÷ 216
    38912 ÷ 65536     		x = 0.59375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38912 ÷ 216
    38912 ÷ 65536     		y = 0.59375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59375 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59375 × 2 - 1) × π
    -0.1875 × 3.1415926535     		Φ = -0.58904862253125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58904862} λ = 0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.58904862253125))-π/2
    2×atan(0.554854910169195)-π/2
    2×0.506562946312123-π/2
    1.01312589262425-1.57079632675     		φ = -0.55767043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55767043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.952162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38912 KachelY 38912 0.58904862 -0.55767043 33.750000 -31.952162
    Oben rechts KachelX + 1 38913 KachelY 38912 0.58914450 -0.55767043 33.755493 -31.952162
    Unten links KachelX 38912 KachelY + 1 38913 0.58904862 -0.55775178 33.750000 -31.956823
    Unten rechts KachelX + 1 38913 KachelY + 1 38913 0.58914450 -0.55775178 33.755493 -31.956823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55767043--0.55775178) × R
    8.134999999998e-05 × 6371000     		dl = 518.280849999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55767043--0.55775178) × R
    8.134999999998e-05 × 6371000     		dr = 518.280849999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58904862-0.58914450) × cos(-0.55767043) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.848490246343458 × 6371000     		do = 518.301522744126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58904862-0.58914450) × cos(-0.55775178) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.84844719221959 × 6371000     		du = 518.275223068841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55767043)-sin(-0.55775178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848490246343458-0.84844719221959)×R²
    abs(0.58914450-0.58904862)×4.30541238678472e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.30541238678472e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.30541238678472e-05×40589641000000     		ar = 268618.938603175m²