Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 390 / 126
↖ ↑ ↗
← N 67.067433°
E 94.218750°		 ← 30.464 km → N 67.067433°
E 94.921875°		 →
↑
30.637 km
↓
↑
30.637 km
↓
N 66.791909°
E 94.218750°		 ← 30.810 km →
938.628 km²		 N 66.791909°
E 94.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7626953125 y=0.2470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7626953125 × 29)
    floor (0.7626953125 × 512)
    floor (390.5)     		tx = 390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2470703125 × 29)
    floor (0.2470703125 × 512)
    floor (126.5)     		ty = 126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 390 / 126 ti = "9/390/126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/390/126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 390 ÷ 29
    390 ÷ 512     		x = 0.76171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 126 ÷ 29
    126 ÷ 512     		y = 0.24609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76171875 × 2 - 1) × π
    0.5234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.64442740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24609375 × 2 - 1) × π
    0.5078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.59534001935547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64442740} λ = 1.64442740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59534001935547))-π/2
    2×atan(4.93000508431591)-π/2
    2×1.37067192980769-π/2
    2.74134385961538-1.57079632675     		φ = 1.17054753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64442740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17054753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.067433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 390 KachelY 126 1.64442740 1.17054753 94.218750 67.067433
    Oben rechts KachelX + 1 391 KachelY 126 1.65669925 1.17054753 94.921875 67.067433
    Unten links KachelX 390 KachelY + 1 127 1.64442740 1.16573873 94.218750 66.791909
    Unten rechts KachelX + 1 391 KachelY + 1 127 1.65669925 1.16573873 94.921875 66.791909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17054753-1.16573873) × R
    0.00480879999999995 × 6371000     		dl = 30636.8647999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17054753-1.16573873) × R
    0.00480879999999995 × 6371000     		dr = 30636.8647999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64442740-1.65669925) × cos(1.17054753) × R
    0.0122718499999999 × 0.389647487277031 × 6371000     		do = 30464.1821371542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64442740-1.65669925) × cos(1.16573873) × R
    0.0122718499999999 × 0.394071697069453 × 6371000     		du = 30810.0843624482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17054753)-sin(1.16573873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389647487277031-0.394071697069453)×R²
    abs(1.65669925-1.64442740)×0.00442420979242147×R²
    0.0122718499999999×0.00442420979242147×6371000²
    0.0122718499999999×0.00442420979242147×40589641000000     		ar = 938627518.013231m²