Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 390 / 382
↖ ↑ ↗
← S 65.946472°
E 94.218750°		 ← 31.867 km → S 65.946472°
E 94.921875°		 →
↑
31.689 km
↓
↑
31.689 km
↓
S 66.231457°
E 94.218750°		 ← 31.511 km →
1 004.20 km²		 S 66.231457°
E 94.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7626953125 y=0.7470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7626953125 × 29)
    floor (0.7626953125 × 512)
    floor (390.5)     		tx = 390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7470703125 × 29)
    floor (0.7470703125 × 512)
    floor (382.5)     		ty = 382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 390 / 382 ti = "9/390/382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/390/382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 390 ÷ 29
    390 ÷ 512     		x = 0.76171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 382 ÷ 29
    382 ÷ 512     		y = 0.74609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76171875 × 2 - 1) × π
    0.5234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.64442740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74609375 × 2 - 1) × π
    -0.4921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54625263414453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64442740} λ = 1.64442740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54625263414453))-π/2
    2×atan(0.213044836772739)-π/2
    2×0.209906632122725-π/2
    0.419813264245451-1.57079632675     		φ = -1.15098306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64442740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15098306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.946472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 390 KachelY 382 1.64442740 -1.15098306 94.218750 -65.946472
    Oben rechts KachelX + 1 391 KachelY 382 1.65669925 -1.15098306 94.921875 -65.946472
    Unten links KachelX 390 KachelY + 1 383 1.64442740 -1.15595700 94.218750 -66.231457
    Unten rechts KachelX + 1 391 KachelY + 1 383 1.65669925 -1.15595700 94.921875 -66.231457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15098306--1.15595700) × R
    0.00497393999999995 × 6371000     		dl = 31688.9717399997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15098306--1.15595700) × R
    0.00497393999999995 × 6371000     		dr = 31688.9717399997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64442740-1.65669925) × cos(-1.15098306) × R
    0.0122718499999999 × 0.407589941927033 × 6371000     		do = 31866.9942283219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64442740-1.65669925) × cos(-1.15595700) × R
    0.0122718499999999 × 0.403042890509652 × 6371000     		du = 31511.4877587841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15098306)-sin(-1.15595700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407589941927033-0.403042890509652)×R²
    abs(1.65669925-1.64442740)×0.0045470514173816×R²
    0.0122718499999999×0.0045470514173816×6371000²
    0.0122718499999999×0.0045470514173816×40589641000000     		ar = 1004201532.64308m²