Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3904 / 3904
↖ ↑ ↗
← N  8.407168°
W  8.437500°		 ← 4 833.98 m → N  8.407168°
W  8.393555°		 →
↑
4 834.31 m
↓
↑
4 834.31 m
↓
N  8.363692°
W  8.437500°		 ← 4 834.52 m →
23 370 305 m²		 N  8.363692°
W  8.393555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47662353515625 y=0.47662353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47662353515625 × 213)
    floor (0.47662353515625 × 8192)
    floor (3904.5)     		tx = 3904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47662353515625 × 213)
    floor (0.47662353515625 × 8192)
    floor (3904.5)     		ty = 3904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3904 / 3904 ti = "13/3904/3904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3904/3904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3904 ÷ 213
    3904 ÷ 8192     		x = 0.4765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3904 ÷ 213
    3904 ÷ 8192     		y = 0.4765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4765625 × 2 - 1) × π
    -0.046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4765625 × 2 - 1) × π
    0.046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.147262155632813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14726216} λ = -0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.147262155632813))-π/2
    2×atan(1.1586576718538)-π/2
    2×0.858764546007208-π/2
    1.71752909201442-1.57079632675     		φ = 0.14673277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14673277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.407168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3904 KachelY 3904 -0.14726216 0.14673277 -8.437500 8.407168
    Oben rechts KachelX + 1 3905 KachelY 3904 -0.14649517 0.14673277 -8.393555 8.407168
    Unten links KachelX 3904 KachelY + 1 3905 -0.14726216 0.14597397 -8.437500 8.363692
    Unten rechts KachelX + 1 3905 KachelY + 1 3905 -0.14649517 0.14597397 -8.393555 8.363692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14673277-0.14597397) × R
    0.000758800000000004 × 6371000     		dl = 4834.31480000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14673277-0.14597397) × R
    0.000758800000000004 × 6371000     		dr = 4834.31480000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14726216--0.14649517) × cos(0.14673277) × R
    0.000766989999999995 × 0.989254048358907 × 6371000     		do = 4833.9832694111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14726216--0.14649517) × cos(0.14597397) × R
    0.000766989999999995 × 0.989364705271577 × 6371000     		du = 4834.52399367236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14673277)-sin(0.14597397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989254048358907-0.989364705271577)×R²
    abs(-0.14649517--0.14726216)×0.000110656912670537×R²
    0.000766989999999995×0.000110656912670537×6371000²
    0.000766989999999995×0.000110656912670537×40589641000000     		ar = 23370304.9992577m²