Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 391 / 650
↖ ↑ ↗
← S 43.580391°
W 42.539062°		 ← 28.319 km → S 43.580391°
W 42.187500°		 →
↑
28.259 km
↓
↑
28.259 km
↓
S 43.834527°
W 42.539062°		 ← 28.199 km →
798.551 km²		 S 43.834527°
W 42.187500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38232421875 y=0.63525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38232421875 × 210)
    floor (0.38232421875 × 1024)
    floor (391.5)     		tx = 391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63525390625 × 210)
    floor (0.63525390625 × 1024)
    floor (650.5)     		ty = 650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 391 / 650 ti = "10/391/650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/391/650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 391 ÷ 210
    391 ÷ 1024     		x = 0.3818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 650 ÷ 210
    650 ÷ 1024     		y = 0.634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3818359375 × 2 - 1) × π
    -0.236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74244670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634765625 × 2 - 1) × π
    -0.26953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.846757394888672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74244670} λ = -0.74244670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.846757394888672))-π/2
    2×atan(0.428803119246996)-π/2
    2×0.405087508538022-π/2
    0.810175017076043-1.57079632675     		φ = -0.76062131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74244670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.539062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76062131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.580391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 391 KachelY 650 -0.74244670 -0.76062131 -42.539062 -43.580391
    Oben rechts KachelX + 1 392 KachelY 650 -0.73631078 -0.76062131 -42.187500 -43.580391
    Unten links KachelX 391 KachelY + 1 651 -0.74244670 -0.76505682 -42.539062 -43.834527
    Unten rechts KachelX + 1 392 KachelY + 1 651 -0.73631078 -0.76505682 -42.187500 -43.834527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76062131--0.76505682) × R
    0.00443550999999998 × 6371000     		dl = 28258.6342099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76062131--0.76505682) × R
    0.00443550999999998 × 6371000     		dr = 28258.6342099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74244670--0.73631078) × cos(-0.76062131) × R
    0.00613591999999996 × 0.724407837082572 × 6371000     		do = 28318.512281019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74244670--0.73631078) × cos(-0.76505682) × R
    0.00613591999999996 × 0.721343006319873 × 6371000     		du = 28198.7020813637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76062131)-sin(-0.76505682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724407837082572-0.721343006319873)×R²
    abs(-0.73631078--0.74244670)×0.00306483076269859×R²
    0.00613591999999996×0.00306483076269859×6371000²
    0.00613591999999996×0.00306483076269859×40589641000000     		ar = 798550952.825373m²