Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 392 / 136
↖ ↑ ↗
← N 64.168107°
E 95.625000°		 ← 34.067 km → N 64.168107°
E 96.328125°		 →
↑
34.256 km
↓
↑
34.256 km
↓
N 63.860036°
E 95.625000°		 ← 34.445 km →
1 173.48 km²		 N 63.860036°
E 96.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7666015625 y=0.2666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7666015625 × 29)
    floor (0.7666015625 × 512)
    floor (392.5)     		tx = 392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2666015625 × 29)
    floor (0.2666015625 × 512)
    floor (136.5)     		ty = 136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 392 / 136 ti = "9/392/136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/392/136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 392 ÷ 29
    392 ÷ 512     		x = 0.765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 136 ÷ 29
    136 ÷ 512     		y = 0.265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765625 × 2 - 1) × π
    0.53125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66897110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265625 × 2 - 1) × π
    0.46875 × 3.1415926535     		Φ = 1.47262155632813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66897110} λ = 1.66897110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47262155632813))-π/2
    2×atan(4.36065186422221)-π/2
    2×1.3453705334591-π/2
    2.69074106691819-1.57079632675     		φ = 1.11994474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66897110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11994474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.168107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 392 KachelY 136 1.66897110 1.11994474 95.625000 64.168107
    Oben rechts KachelX + 1 393 KachelY 136 1.68124294 1.11994474 96.328125 64.168107
    Unten links KachelX 392 KachelY + 1 137 1.66897110 1.11456789 95.625000 63.860036
    Unten rechts KachelX + 1 393 KachelY + 1 137 1.68124294 1.11456789 96.328125 63.860036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11994474-1.11456789) × R
    0.00537684999999999 × 6371000     		dl = 34255.9113499999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11994474-1.11456789) × R
    0.00537684999999999 × 6371000     		dr = 34255.9113499999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66897110-1.68124294) × cos(1.11994474) × R
    0.0122718399999999 × 0.435732185161907 × 6371000     		do = 34067.2383844909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66897110-1.68124294) × cos(1.11456789) × R
    0.0122718399999999 × 0.44056543883997 × 6371000     		du = 34445.1209711585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11994474)-sin(1.11456789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435732185161907-0.44056543883997)×R²
    abs(1.68124294-1.66897110)×0.00483325367806298×R²
    0.0122718399999999×0.00483325367806298×6371000²
    0.0122718399999999×0.00483325367806298×40589641000000     		ar = 1173479481.39269m²