Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 394 / 906
↖ ↑ ↗
← S 79.812302°
W 41.484375°		 ← 6 914.33 m → S 79.812302°
W 41.132813°		 →
↑
6 893.49 m
↓
↑
6 893.49 m
↓
S 79.874297°
W 41.484375°		 ← 6 872.69 m →
47 520 307 m²		 S 79.874297°
W 41.132813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38525390625 y=0.88525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38525390625 × 210)
    floor (0.38525390625 × 1024)
    floor (394.5)     		tx = 394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.88525390625 × 210)
    floor (0.88525390625 × 1024)
    floor (906.5)     		ty = 906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 394 / 906 ti = "10/394/906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/394/906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 394 ÷ 210
    394 ÷ 1024     		x = 0.384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 906 ÷ 210
    906 ÷ 1024     		y = 0.884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.384765625 × 2 - 1) × π
    -0.23046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.72403893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884765625 × 2 - 1) × π
    -0.76953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.41755372163867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72403893} λ = -0.72403893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41755372163867))-π/2
    2×atan(0.0891394107709529)-π/2
    2×0.0889044343380513-π/2
    0.177808868676103-1.57079632675     		φ = -1.39298746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72403893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.484375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39298746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.812302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 394 KachelY 906 -0.72403893 -1.39298746 -41.484375 -79.812302
    Oben rechts KachelX + 1 395 KachelY 906 -0.71790301 -1.39298746 -41.132813 -79.812302
    Unten links KachelX 394 KachelY + 1 907 -0.72403893 -1.39406947 -41.484375 -79.874297
    Unten rechts KachelX + 1 395 KachelY + 1 907 -0.71790301 -1.39406947 -41.132813 -79.874297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39298746--1.39406947) × R
    0.00108200999999997 × 6371000     		dl = 6893.48570999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39298746--1.39406947) × R
    0.00108200999999997 × 6371000     		dr = 6893.48570999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72403893--0.71790301) × cos(-1.39298746) × R
    0.00613591999999996 × 0.17687341280078 × 6371000     		do = 6914.32595864325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72403893--0.71790301) × cos(-1.39406947) × R
    0.00613591999999996 × 0.175808358865107 × 6371000     		du = 6872.69092736203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39298746)-sin(-1.39406947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17687341280078-0.175808358865107)×R²
    abs(-0.71790301--0.72403893)×0.00106505393567258×R²
    0.00613591999999996×0.00106505393567258×6371000²
    0.00613591999999996×0.00106505393567258×40589641000000     		ar = 47520306.5797822m²