Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 396 / 124
↖ ↑ ↗
← N 79.432371°
W 40.781250°		 ← 7 169.32 m → N 79.432371°
W 40.429687°		 →
↑
7 190.95 m
↓
↑
7 190.95 m
↓
N 79.367701°
W 40.781250°		 ← 7 212.69 m →
51 710 131 m²		 N 79.367701°
W 40.429687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38720703125 y=0.12158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38720703125 × 210)
    floor (0.38720703125 × 1024)
    floor (396.5)     		tx = 396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12158203125 × 210)
    floor (0.12158203125 × 1024)
    floor (124.5)     		ty = 124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 396 / 124 ti = "10/396/124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/396/124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 396 ÷ 210
    396 ÷ 1024     		x = 0.38671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 124 ÷ 210
    124 ÷ 1024     		y = 0.12109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38671875 × 2 - 1) × π
    -0.2265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.71176709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12109375 × 2 - 1) × π
    0.7578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38073818273047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71176709} λ = -0.71176709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38073818273047))-π/2
    2×atan(10.8128818012243)-π/2
    2×1.4785763645972-π/2
    2.9571527291944-1.57079632675     		φ = 1.38635640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71176709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.781250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38635640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.432371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 396 KachelY 124 -0.71176709 1.38635640 -40.781250 79.432371
    Oben rechts KachelX + 1 397 KachelY 124 -0.70563116 1.38635640 -40.429687 79.432371
    Unten links KachelX 396 KachelY + 1 125 -0.71176709 1.38522770 -40.781250 79.367701
    Unten rechts KachelX + 1 397 KachelY + 1 125 -0.70563116 1.38522770 -40.429687 79.367701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38635640-1.38522770) × R
    0.00112869999999998 × 6371000     		dl = 7190.94769999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38635640-1.38522770) × R
    0.00112869999999998 × 6371000     		dr = 7190.94769999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71176709--0.70563116) × cos(1.38635640) × R
    0.00613593000000001 × 0.183395988450163 × 6371000     		do = 7169.31781995554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71176709--0.70563116) × cos(1.38522770) × R
    0.00613593000000001 × 0.184505427649398 × 6371000     		du = 7212.68802825971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38635640)-sin(1.38522770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183395988450163-0.184505427649398)×R²
    abs(-0.70563116--0.71176709)×0.00110943919923503×R²
    0.00613593000000001×0.00110943919923503×6371000²
    0.00613593000000001×0.00110943919923503×40589641000000     		ar = 51710131.4275263m²