Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 396 / 132
↖ ↑ ↗
← N 65.366837°
E 98.437500°		 ← 32.588 km → N 65.366837°
E 99.140625°		 →
↑
32.770 km
↓
↑
32.770 km
↓
N 65.072130°
E 98.437500°		 ← 32.953 km →
1 073.88 km²		 N 65.072130°
E 99.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7744140625 y=0.2587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7744140625 × 29)
    floor (0.7744140625 × 512)
    floor (396.5)     		tx = 396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2587890625 × 29)
    floor (0.2587890625 × 512)
    floor (132.5)     		ty = 132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 396 / 132 ti = "9/396/132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/396/132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 396 ÷ 29
    396 ÷ 512     		x = 0.7734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 132 ÷ 29
    132 ÷ 512     		y = 0.2578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7734375 × 2 - 1) × π
    0.546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71805848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2578125 × 2 - 1) × π
    0.484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.52170894153906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71805848} λ = 1.71805848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52170894153906))-π/2
    2×atan(4.58004554105781)-π/2
    2×1.35583142608043-π/2
    2.71166285216086-1.57079632675     		φ = 1.14086653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71805848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14086653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.366837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 396 KachelY 132 1.71805848 1.14086653 98.437500 65.366837
    Oben rechts KachelX + 1 397 KachelY 132 1.73033033 1.14086653 99.140625 65.366837
    Unten links KachelX 396 KachelY + 1 133 1.71805848 1.13572292 98.437500 65.072130
    Unten rechts KachelX + 1 397 KachelY + 1 133 1.73033033 1.13572292 99.140625 65.072130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14086653-1.13572292) × R
    0.00514360999999997 × 6371000     		dl = 32769.9393099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14086653-1.13572292) × R
    0.00514360999999997 × 6371000     		dr = 32769.9393099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71805848-1.73033033) × cos(1.14086653) × R
    0.0122718499999999 × 0.416806989093035 × 6371000     		do = 32587.6194416244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71805848-1.73033033) × cos(1.13572292) × R
    0.0122718499999999 × 0.421476970654384 × 6371000     		du = 32952.7370761722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14086653)-sin(1.13572292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416806989093035-0.421476970654384)×R²
    abs(1.73033033-1.71805848)×0.00466998156134907×R²
    0.0122718499999999×0.00466998156134907×6371000²
    0.0122718499999999×0.00466998156134907×40589641000000     		ar = 1073879120.33328m²