Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 396 / 651
↖ ↑ ↗
← S 43.834527°
W 40.781250°		 ← 28.199 km → S 43.834527°
W 40.429687°		 →
↑
28.139 km
↓
↑
28.139 km
↓
S 44.087585°
W 40.781250°		 ← 28.079 km →
791.794 km²		 S 44.087585°
W 40.429687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38720703125 y=0.63623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38720703125 × 210)
    floor (0.38720703125 × 1024)
    floor (396.5)     		tx = 396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63623046875 × 210)
    floor (0.63623046875 × 1024)
    floor (651.5)     		ty = 651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 396 / 651 ti = "10/396/651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/396/651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 396 ÷ 210
    396 ÷ 1024     		x = 0.38671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 651 ÷ 210
    651 ÷ 1024     		y = 0.6357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38671875 × 2 - 1) × π
    -0.2265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.71176709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6357421875 × 2 - 1) × π
    -0.271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.852893318040039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71176709} λ = -0.71176709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.852893318040039))-π/2
    2×atan(0.426180071898415)-π/2
    2×0.402869754204406-π/2
    0.805739508408813-1.57079632675     		φ = -0.76505682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71176709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.781250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76505682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.834527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 396 KachelY 651 -0.71176709 -0.76505682 -40.781250 -43.834527
    Oben rechts KachelX + 1 397 KachelY 651 -0.70563116 -0.76505682 -40.429687 -43.834527
    Unten links KachelX 396 KachelY + 1 652 -0.71176709 -0.76947352 -40.781250 -44.087585
    Unten rechts KachelX + 1 397 KachelY + 1 652 -0.70563116 -0.76947352 -40.429687 -44.087585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76505682--0.76947352) × R
    0.00441670000000005 × 6371000     		dl = 28138.7957000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76505682--0.76947352) × R
    0.00441670000000005 × 6371000     		dr = 28138.7957000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71176709--0.70563116) × cos(-0.76505682) × R
    0.00613593000000001 × 0.721343006319873 × 6371000     		do = 28198.7480381269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71176709--0.70563116) × cos(-0.76947352) × R
    0.00613593000000001 × 0.71827707137878 × 6371000     		du = 28078.8944786583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76505682)-sin(-0.76947352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721343006319873-0.71827707137878)×R²
    abs(-0.70563116--0.71176709)×0.0030659349410932×R²
    0.00613593000000001×0.0030659349410932×6371000²
    0.00613593000000001×0.0030659349410932×40589641000000     		ar = 791793829.771758m²