Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 396 / 653
↖ ↑ ↗
← S 44.339565°
W 40.781250°		 ← 27.959 km → S 44.339565°
W 40.429687°		 →
↑
27.899 km
↓
↑
27.899 km
↓
S 44.590467°
W 40.781250°		 ← 27.839 km →
778.358 km²		 S 44.590467°
W 40.429687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38720703125 y=0.63818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38720703125 × 210)
    floor (0.38720703125 × 1024)
    floor (396.5)     		tx = 396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63818359375 × 210)
    floor (0.63818359375 × 1024)
    floor (653.5)     		ty = 653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 396 / 653 ti = "10/396/653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/396/653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 396 ÷ 210
    396 ÷ 1024     		x = 0.38671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 653 ÷ 210
    653 ÷ 1024     		y = 0.6376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38671875 × 2 - 1) × π
    -0.2265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.71176709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6376953125 × 2 - 1) × π
    -0.275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.865165164342773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71176709} λ = -0.71176709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.865165164342773))-π/2
    2×atan(0.420982015667029)-π/2
    2×0.398462462165216-π/2
    0.796924924330431-1.57079632675     		φ = -0.77387140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71176709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.781250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77387140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.339565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 396 KachelY 653 -0.71176709 -0.77387140 -40.781250 -44.339565
    Oben rechts KachelX + 1 397 KachelY 653 -0.70563116 -0.77387140 -40.429687 -44.339565
    Unten links KachelX 396 KachelY + 1 654 -0.71176709 -0.77825047 -40.781250 -44.590467
    Unten rechts KachelX + 1 397 KachelY + 1 654 -0.70563116 -0.77825047 -40.429687 -44.590467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77387140--0.77825047) × R
    0.00437907000000004 × 6371000     		dl = 27899.0549700003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77387140--0.77825047) × R
    0.00437907000000004 × 6371000     		dr = 27899.0549700003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71176709--0.70563116) × cos(-0.77387140) × R
    0.00613593000000001 × 0.715210278458376 × 6371000     		do = 27959.007379054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71176709--0.70563116) × cos(-0.77825047) × R
    0.00613593000000001 × 0.712142857825438 × 6371000     		du = 27839.0957409049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77387140)-sin(-0.77825047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715210278458376-0.712142857825438)×R²
    abs(-0.70563116--0.71176709)×0.00306742063293786×R²
    0.00613593000000001×0.00306742063293786×6371000²
    0.00613593000000001×0.00306742063293786×40589641000000     		ar = 778358416.916381m²