Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 396 / 908
↖ ↑ ↗
← S 79.935918°
W 40.781250°		 ← 6 831.31 m → S 79.935918°
W 40.429687°		 →
↑
6 810.73 m
↓
↑
6 810.73 m
↓
S 79.997168°
W 40.781250°		 ← 6 790.16 m →
46 386 053 m²		 S 79.997168°
W 40.429687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38720703125 y=0.88720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38720703125 × 210)
    floor (0.38720703125 × 1024)
    floor (396.5)     		tx = 396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.88720703125 × 210)
    floor (0.88720703125 × 1024)
    floor (908.5)     		ty = 908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 396 / 908 ti = "10/396/908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/396/908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 396 ÷ 210
    396 ÷ 1024     		x = 0.38671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 908 ÷ 210
    908 ÷ 1024     		y = 0.88671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38671875 × 2 - 1) × π
    -0.2265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.71176709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88671875 × 2 - 1) × π
    -0.7734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.42982556794141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71176709} λ = -0.71176709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.42982556794141))-π/2
    2×atan(0.0880521903677181)-π/2
    2×0.0878256814024389-π/2
    0.175651362804878-1.57079632675     		φ = -1.39514496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71176709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.781250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39514496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.935918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 396 KachelY 908 -0.71176709 -1.39514496 -40.781250 -79.935918
    Oben rechts KachelX + 1 397 KachelY 908 -0.70563116 -1.39514496 -40.429687 -79.935918
    Unten links KachelX 396 KachelY + 1 909 -0.71176709 -1.39621398 -40.781250 -79.997168
    Unten rechts KachelX + 1 397 KachelY + 1 909 -0.70563116 -1.39621398 -40.429687 -79.997168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39514496--1.39621398) × R
    0.00106901999999987 × 6371000     		dl = 6810.72641999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39514496--1.39621398) × R
    0.00106901999999987 × 6371000     		dr = 6810.72641999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71176709--0.70563116) × cos(-1.39514496) × R
    0.00613593000000001 × 0.174749518782549 × 6371000     		do = 6831.30994098511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71176709--0.70563116) × cos(-1.39621398) × R
    0.00613593000000001 × 0.173696848225222 × 6371000     		du = 6790.15893299978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39514496)-sin(-1.39621398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174749518782549-0.173696848225222)×R²
    abs(-0.70563116--0.71176709)×0.00105267055732727×R²
    0.00613593000000001×0.00105267055732727×6371000²
    0.00613593000000001×0.00105267055732727×40589641000000     		ar = 46386053.3871344m²