Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 3968 / 12672
↖ ↑ ↗
← N 37.718590°
W136.406250°		 ← 966.30 m → N 37.718590°
W136.395264°		 →
↑
966.42 m
↓
↑
966.42 m
↓
N 37.709899°
W136.406250°		 ← 966.41 m →
933 900 m²		 N 37.709899°
W136.395264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.121109008789062 y=0.386734008789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.121109008789062 × 215)
    floor (0.121109008789062 × 32768)
    floor (3968.5)     		tx = 3968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.386734008789062 × 215)
    floor (0.386734008789062 × 32768)
    floor (12672.5)     		ty = 12672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3968 / 12672 ti = "15/3968/12672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3968/12672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3968 ÷ 215
    3968 ÷ 32768     		x = 0.12109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12672 ÷ 215
    12672 ÷ 32768     		y = 0.38671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12109375 × 2 - 1) × π
    -0.7578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.38073818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38671875 × 2 - 1) × π
    0.2265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.711767085558594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38073818} λ = -2.38073818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.711767085558594))-π/2
    2×atan(2.03758867275937)-π/2
    2×1.1145549585856-π/2
    2.2291099171712-1.57079632675     		φ = 0.65831359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38073818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.65831359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 37.718590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3968 KachelY 12672 -2.38073818 0.65831359 -136.406250 37.718590
    Oben rechts KachelX + 1 3969 KachelY 12672 -2.38054644 0.65831359 -136.395264 37.718590
    Unten links KachelX 3968 KachelY + 1 12673 -2.38073818 0.65816190 -136.406250 37.709899
    Unten rechts KachelX + 1 3969 KachelY + 1 12673 -2.38054644 0.65816190 -136.395264 37.709899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.65831359-0.65816190) × R
    0.000151690000000038 × 6371000     		dl = 966.41699000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.65831359-0.65816190) × R
    0.000151690000000038 × 6371000     		dr = 966.41699000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38073818--2.38054644) × cos(0.65831359) × R
    0.000191739999999996 × 0.791025074037336 × 6371000     		do = 966.296881970678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38073818--2.38054644) × cos(0.65816190) × R
    0.000191739999999996 × 0.791117866410292 × 6371000     		du = 966.410234863779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.65831359)-sin(0.65816190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.791025074037336-0.791117866410292)×R²
    abs(-2.38054644--2.38073818)×9.27923729552305e-05×R²
    0.000191739999999996×9.27923729552305e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.27923729552305e-05×40589641000000     		ar = 933900.498993033m²