Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 399 / 689
↖ ↑ ↗
← S 52.696361°
W 39.726563°		 ← 23.691 km → S 52.696361°
W 39.375000°		 →
↑
23.633 km
↓
↑
23.633 km
↓
S 52.908902°
W 39.726563°		 ← 23.576 km →
558.543 km²		 S 52.908902°
W 39.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.39013671875 y=0.67333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.39013671875 × 210)
    floor (0.39013671875 × 1024)
    floor (399.5)     		tx = 399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.67333984375 × 210)
    floor (0.67333984375 × 1024)
    floor (689.5)     		ty = 689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 399 / 689 ti = "10/399/689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/399/689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 399 ÷ 210
    399 ÷ 1024     		x = 0.3896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 689 ÷ 210
    689 ÷ 1024     		y = 0.6728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3896484375 × 2 - 1) × π
    -0.220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.69335932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6728515625 × 2 - 1) × π
    -0.345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.08605839779199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69335932} λ = -0.69335932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08605839779199))-π/2
    2×atan(0.337544340583644)-π/2
    2×0.325535661089015-π/2
    0.65107132217803-1.57079632675     		φ = -0.91972500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69335932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.726563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91972500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.696361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 399 KachelY 689 -0.69335932 -0.91972500 -39.726563 -52.696361
    Oben rechts KachelX + 1 400 KachelY 689 -0.68722339 -0.91972500 -39.375000 -52.696361
    Unten links KachelX 399 KachelY + 1 690 -0.69335932 -0.92343454 -39.726563 -52.908902
    Unten rechts KachelX + 1 400 KachelY + 1 690 -0.68722339 -0.92343454 -39.375000 -52.908902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91972500--0.92343454) × R
    0.00370954000000001 × 6371000     		dl = 23633.4793400001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91972500--0.92343454) × R
    0.00370954000000001 × 6371000     		dr = 23633.4793400001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69335932--0.68722339) × cos(-0.91972500) × R
    0.00613593000000001 × 0.606038924178641 × 6371000     		do = 23691.2797025619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69335932--0.68722339) × cos(-0.92343454) × R
    0.00613593000000001 × 0.603084063284091 × 6371000     		du = 23575.7682508349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91972500)-sin(-0.92343454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606038924178641-0.603084063284091)×R²
    abs(-0.68722339--0.69335932)×0.00295486089454988×R²
    0.00613593000000001×0.00295486089454988×6371000²
    0.00613593000000001×0.00295486089454988×40589641000000     		ar = 558543041.129499m²