Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39935 / 7167
↖ ↑ ↗
← N 80.179650°
E 39.369507°		 ← 104.18 m → N 80.179650°
E 39.375000°		 →
↑
104.17 m
↓
↑
104.17 m
↓
N 80.178713°
E 39.369507°		 ← 104.19 m →
10 852 m²		 N 80.178713°
E 39.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609367370605469 y=0.109367370605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609367370605469 × 216)
    floor (0.609367370605469 × 65536)
    floor (39935.5)     		tx = 39935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109367370605469 × 216)
    floor (0.109367370605469 × 65536)
    floor (7167.5)     		ty = 7167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39935 / 7167 ti = "16/39935/7167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39935/7167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39935 ÷ 216
    39935 ÷ 65536     		x = 0.609359741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7167 ÷ 216
    7167 ÷ 65536     		y = 0.109359741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609359741210938 × 2 - 1) × π
    0.218719482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68712752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109359741210938 × 2 - 1) × π
    0.781280517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.45446513434612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68712752} λ = 0.68712752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45446513434612))-π/2
    2×atan(11.6402059372002)-π/2
    2×1.48509761013118-π/2
    2.97019522026236-1.57079632675     		φ = 1.39939889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68712752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.369507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39939889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.179650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39935 KachelY 7167 0.68712752 1.39939889 39.369507 80.179650
    Oben rechts KachelX + 1 39936 KachelY 7167 0.68722339 1.39939889 39.375000 80.179650
    Unten links KachelX 39935 KachelY + 1 7168 0.68712752 1.39938254 39.369507 80.178713
    Unten rechts KachelX + 1 39936 KachelY + 1 7168 0.68722339 1.39938254 39.375000 80.178713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39939889-1.39938254) × R
    1.63500000001093e-05 × 6371000     		dl = 104.165850000697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39939889-1.39938254) × R
    1.63500000001093e-05 × 6371000     		dr = 104.165850000697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68712752-0.68722339) × cos(1.39939889) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.170559475844373 × 6371000     		do = 104.175641903351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68712752-0.68722339) × cos(1.39938254) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.170575586251288 × 6371000     		du = 104.185481942864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39939889)-sin(1.39938254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170559475844373-0.170575586251288)×R²
    abs(0.68722339-0.68712752)×1.61104069143769e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.61104069143769e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.61104069143769e-05×40589641000000     		ar = 10852.0567865954m²