Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39937 / 11263
↖ ↑ ↗
← N 75.498533°
E 39.380493°		 ← 152.94 m → N 75.498533°
E 39.385986°		 →
↑
152.97 m
↓
↑
152.97 m
↓
N 75.497157°
E 39.380493°		 ← 152.96 m →
23 397 m²		 N 75.497157°
E 39.385986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609397888183594 y=0.171867370605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609397888183594 × 216)
    floor (0.609397888183594 × 65536)
    floor (39937.5)     		tx = 39937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171867370605469 × 216)
    floor (0.171867370605469 × 65536)
    floor (11263.5)     		ty = 11263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39937 / 11263 ti = "16/39937/11263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39937/11263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39937 ÷ 216
    39937 ÷ 65536     		x = 0.609390258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11263 ÷ 216
    11263 ÷ 65536     		y = 0.171859741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609390258789062 × 2 - 1) × π
    0.218780517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68731927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171859741210938 × 2 - 1) × π
    0.656280517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.06176605265862
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68731927} λ = 0.68731927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06176605265862))-π/2
    2×atan(7.8598384489298)-π/2
    2×1.44424715313239-π/2
    2.88849430626478-1.57079632675     		φ = 1.31769798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68731927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.380493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31769798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.498533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39937 KachelY 11263 0.68731927 1.31769798 39.380493 75.498533
    Oben rechts KachelX + 1 39938 KachelY 11263 0.68741514 1.31769798 39.385986 75.498533
    Unten links KachelX 39937 KachelY + 1 11264 0.68731927 1.31767397 39.380493 75.497157
    Unten rechts KachelX + 1 39938 KachelY + 1 11264 0.68741514 1.31767397 39.385986 75.497157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31769798-1.31767397) × R
    2.40099999999632e-05 × 6371000     		dl = 152.967709999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31769798-1.31767397) × R
    2.40099999999632e-05 × 6371000     		dr = 152.967709999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68731927-0.68741514) × cos(1.31769798) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.250404793640266 × 6371000     		do = 152.944185504845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68731927-0.68741514) × cos(1.31767397) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.250428038638996 × 6371000     		du = 152.958383265783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31769798)-sin(1.31767397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250404793640266-0.250428038638996)×R²
    abs(0.68741514-0.68731927)×2.32449987297434e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.32449987297434e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.32449987297434e-05×40589641000000     		ar = 23396.6077150882m²