Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39938 / 11266
↖ ↑ ↗
← N 75.494406°
E 39.385986°		 ← 152.99 m → N 75.494406°
E 39.391479°		 →
↑
153.03 m
↓
↑
153.03 m
↓
N 75.493030°
E 39.385986°		 ← 153 m →
23 413 m²		 N 75.493030°
E 39.391479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609413146972656 y=0.171913146972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609413146972656 × 216)
    floor (0.609413146972656 × 65536)
    floor (39938.5)     		tx = 39938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171913146972656 × 216)
    floor (0.171913146972656 × 65536)
    floor (11266.5)     		ty = 11266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39938 / 11266 ti = "16/39938/11266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39938/11266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39938 ÷ 216
    39938 ÷ 65536     		x = 0.609405517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11266 ÷ 216
    11266 ÷ 65536     		y = 0.171905517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609405517578125 × 2 - 1) × π
    0.21881103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68741514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171905517578125 × 2 - 1) × π
    0.65618896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.06147843126089
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68741514} λ = 0.68741514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06147843126089))-π/2
    2×atan(7.85757811628486)-π/2
    2×1.44421113722975-π/2
    2.8884222744595-1.57079632675     		φ = 1.31762595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68741514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.385986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31762595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.494406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39938 KachelY 11266 0.68741514 1.31762595 39.385986 75.494406
    Oben rechts KachelX + 1 39939 KachelY 11266 0.68751101 1.31762595 39.391479 75.494406
    Unten links KachelX 39938 KachelY + 1 11267 0.68741514 1.31760193 39.385986 75.493030
    Unten rechts KachelX + 1 39939 KachelY + 1 11267 0.68751101 1.31760193 39.391479 75.493030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31762595-1.31760193) × R
    2.40200000001245e-05 × 6371000     		dl = 153.031420000793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31762595-1.31760193) × R
    2.40200000001245e-05 × 6371000     		dr = 153.031420000793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68741514-0.68751101) × cos(1.31762595) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.250474528203341 × 6371000     		do = 152.986778523118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68741514-0.68751101) × cos(1.31760193) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.250497782450103 × 6371000     		du = 153.00098193264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31762595)-sin(1.31760193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250474528203341-0.250497782450103)×R²
    abs(0.68751101-0.68741514)×2.32542467610841e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.32542467610841e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.32542467610841e-05×40589641000000     		ar = 23412.8707437943m²